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Der Kraftstoffverbrauch eines PKW ( in Liter je 100km) lässt sich in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit x (in km/h) im 4.Gang näherungsweise durch die Funktion f(x)=0,0017x^2-0,18x+10,2 beschreiben (x größer gleich 30)

Bei welcher Geschwindigkeit  ist der Verbrauch am geringsten?

Wir groß ist der geringste Verbrauch?

Ich weiß nur, dass ich da mit Hilfe von Nebenbedingung und Zielfunktion vorgehen soll aber wie?
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Ich glaube da brauchst du keine Nebenbedingung und die Zielfunktion ist auch direkt gegeben.

Der Kraftstoffverbrauch eines PKW (in Liter je 100 km) lässt sich in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit x (in km/h) im 4. Gang näherungsweise durch die folgende Funktion beschreiben.

f(x) = 0.0017·x^2 - 0.18·x + 10.2 ; x ≥ 30

Bei welcher Geschwindigkeit  ist der Verbrauch am geringsten ?

f'(x) = 0.0034·x - 0.18 = 0
x = 52.94 km/h

Wir groß ist der geringste Verbrauch?

f(52.94) = 5.435 l/(100 km)

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Nebenbedingung, Zielfunktion?

Solche Aufgaben erledigt man mit Hilfe der ersten Ableitung:

Der Verbrauch ist bei derjenigen Geshcwindigkeit x0 am geringsten, bei der die Funktion f ( x ) ein Minimum hat.

Wenn f ( x ) an der Stelle x0 ein Minimum hat, dann muss gelten: 

f ' ( x0 ) = 0 

also:

f ' ( x0 ) = 0,0034 x0 - 0,18 = 0

<=> 0,0034 x0 = 0,18

<=> x0 = 0,18 / 0,0034 ≈ 52,94

Da f ' ' ( x0 ) > 0 ist, liegt an dieser Stelle tatsächlich ein Minimum von f ( x ) vor.

 

Der Wert des geringsten Verbrauchs vmin ist gleich dem Funktionswert von f ( x ) an der Stelle x0 , also:

vmin = f ( x0 ) = f ( 52,94 )

= 0,0017 * 52,94 2 - 0,18 * 52,94 + 10,2

≈ 5,44 Liter / 100 km

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