Durchschnittsgeschwindigkeit eines Schneebretts bestimmen

Question

An steilen Berghängen kommt es im Frühjahr häufig zu Abgleiten von überhängenden Schneemassen, sogenannten Schneebrenttern. Den Weg, den ein Schneebrett an einem Berghang in Abhängigkeit der Zeit t zurücklegt, kann mit Hilfe der Funktion s(t)= 4,285t^2- 0,035t beschrieben werden.

a) Bestimmen Sie die Durchschittsgeschwindigkeit des Schneebretts zwischen Sekunde 3 und Sekunde 5.

b) 30m unterhalb der Abbruchstelle sind als Lawinenschutz Hindenisse angebracht. Berechnen Sie mit welcher Geschwindigkeit die Schneemassen auf die Hindernisse treffen.

C) Berechnen Sie die Strecke die das Schneebrett zurückgelegt hat, wenn es mit einer Geschwindigkeit von 36m/S Richtung Tal unterwegs ist.

Ich stehe gerade absolut auf dem Schlauch wie fange ich da am besten an?

Answer 1

a)

Für die Durchschnittsgeschwindigkeit v_d gilt:

v_d = Δ s / Δ t

mit

Δ t = t₂ - t₁

Δ s = s ( t₂ ) - s ( t₁ )

also:

v_d = Δ s / Δ t

= ( s ( t₂ ) - s ( t₁ ) ) / ( t₂ - t₁ )

mit t₁ = 3 und t₂ = 5:

= ( s ( 5 ) - s ( 3) ) / ( 5 - 3 )

= ( ( 4,285 * 5 ² - 0,035 * 5 ) - ( 4,285 * 3 ² - 0,035 * 3 ) ) /  2

= 34,245

(Einheit m/s , falls s ( t ) den Weg in Metern angibt)

 

b) Hier muss zunächst bestimmt werden, in welcher Zeit das Schneebrett die 30 Meter zurücklegt, für welches t also gilt:

s ( t ) = 30

Also:

4,285 * t ² - 0,035 t = 30

Auflösen nach t ergibt (nur positives Ergebnis von Interesse):

t₀ ≈ 2,650 s

Die Momentangeschwindigkeit v_m zum Zeitpunkt t₀ ist gleich der ersten Ableitung von s ( t ) an der Stelle t₀, also:

v_m ( t₀ ) = s ' ( t₀ )

= 8,57 * t₀ - 0,035

mit t₀ = 2,650 :

≈ 22,68 m/s

 

c) Hier muss zunächst berechnet werden, nach welcher Zeit t das Schneebrett die Momentangeschwindigkeit v_m = 36 m/s erreicht hat, nach welcher Zeit also gilt:

s ' ( t ) = 36

s ' ( t ) = 8,57 t - 0,035 = 36

<=> 8,57 t = 36,035

<=> t ≈ 4,205 s

Nach dieser Zeit hat das Schneebrett den Weg

s ( t ) = s ( 4,205 )

= 4,285 * 4,205 ² - 0,035 * 4,205

= 75,62 m

zurückgelegt.

Answer 2

s(t) = 4.285·t^2 - 0.035·t
s'(t) = 8.57·t - 0.035

 

a) Bestimmen Sie die Durchschittsgeschwindigkeit des Schneebretts zwischen Sekunde 3 und Sekunde 5.

(s(5) - s(3)) / (5 - 3) = 34.245

 

b) 30 m unterhalb der Abbruchstelle sind als Lawinenschutz Hindenisse angebracht. Berechnen Sie mit welcher Geschwindigkeit die Schneemassen auf die Hindernisse treffen.

s(t) = 4.285·t^2 - 0.035·t = 30
t = 2.650058983

s'(2.650058983) = 22.68 m/s

 

c) Berechnen Sie die Strecke die das Schneebrett zurückgelegt hat, wenn es mit einer Geschwindigkeit von 36 m/s Richtung Tal unterwegs ist.

s'(t) = 8.57·t - 0.035 = 36
t = 4.204784130

s(4.204784130) = 75.61 m