Berechnen Sie die Höhe der Lagerhalle bis zum Scheitel des Daches. Berechnen Sie die Gleichung der Parabel.

Question

a) Eine \( 9 \mathrm{~m} \) breite Lagerhalle hat als Dachkonstruktion drei gleichgroße parabelförmige Bögen der Form \( y=-x^{2}+p x+q \) (siehe nicht maßstabsgetreue Skizze). Berechnen Sie die Höhe der Lagerhalle bis zum Scheitel des Daches.

b) Das Glasdach eines Wintergartens hat die Form einer Parabel mit der Gleichung \( \mathrm{y}=\mathrm{ax}^{2}+\mathrm{c} \) (siehe nicht maßstabsgetreue Skizze). Berechnen Sie die Gleichung der Parabel.

Answer 1

Nun, legt man das Koordinatensystem so, dass der Ursprung im linken unteren Punkt der linken Parabel zu liegen kommt und all anderen unteren Punkte der Parabeln auf der x-Achse liegen, so hat die erste Parabel die Nullstellen:

Parabel P1: x₁₁ = 0 , x₁₂ = 3

Daraus ergibt sich für die erste Parabel die Funktionsgleichung (Nullstellenform)

P1: f ( x ) = - ( x - x₁₁ ) * ( x - x₁₂ ) = - ( x - 0 ) ( x - 3 ) = - ( x ² - 3 ) = - x ² + 3 x

Aufgrund der Symmetrie einer Parabel hat die Parabel ihren Scheitel in der Mitte zwischen ihren Nullstellen, also bei

x_s = ( 0 + 3 ) / 2 = 1,5

Dort hat sie den Funktionswert

h = f ( 1,5 ) = - 1,5 ² + 3 * 1,5 = 2,25

Das ist auch die Höhe der Parabel, sodass also für die Gesamthöhe H der Lagerhalle gilt:

H = 4 + h = 6,25 m

b)

Man lege das Koordinatensystem so, dass sein Ursprung unter dem Scheitelpunkt der Parabel liegt (das ist ungefähr dort, wo in der Zeichnung zur Aufgabenstellung die 5 steht) und dass die x-Achse identisch mit der Erdoberfläche ist..

Der Scheitelpunkt hat dann die Koordinaten

S ( x_s | y_s ) = ( 0 | 3,5 )

sodass man mit der Scheitelpunktform einer Parabel erhält:

f ( x ) = a ( x - x_s ) ² + y_s

= a ( x - 0 ) ² + 3,5

= a x ² + 3,5

Zur Bestimmung des Wertes des Parameters a zieht man die in der Zeichnung erkennbare Nullstelle der Parabel heran. Diese hat die Koordinaten:

N = ( x_n | y_n ) = ( 5 - 1,2 | 0 ) = ( 3,8 | 0 )

Dieser Punkt muss die Parabelgleichung erfüllen, es muss also gelten:

0 = a * 3,8 ² + 3,5

<=> a * 3,8 ² = - 3,5

<=> a = - 3,5 / 3,8 ²

<=> a ≈ - 0,2424

Somit lautet die Gleichung der Parabel also:

f ( x ) = - ( 3,5 / 3,8 ² ) x ² + 3,5

≈ - 0,2424 x ² + 3,5