Nullstellensatz für Ableitungen

Question

Aufgabe:

Nullstellensatz für Ableitungsfunktionen

Berechnen Sie an den Stellen \( x=0 \) und \( x=1 \) die Ableitungen der Funktionen \( f \) und \( g \) mit

a) \( f(x)=x^{4}-3 x^{3}-x^{2}+4 x-3 \)

b) \( g(x)=3-|4 x-2| \)

Warum besitzt das Schaubild von \( f \) zwischen \( x=0 \) und \( x=1 \) einen Punkt mit waagrechter Tangente? Warum versagt die entsprechende Schlussfolgerung bei der Funktion \( g \)?

Answer 1

Es gilt \(|x|=\sqrt{x^2}\).

D.h. \(g(x)=3-\sqrt{(4x-2)^2}\).

Das kannst du jetzt mithilfe der Kettenregel ableiten.

Comments

Wird da stehen 3 -(4x-2)=g'(x). Aber es hat doch -4 und 4 steigung? Wss mach ich falsch?

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Du leitest einfach jeden Summanden einzeln ab. Die 3 fällt weg (Konstante). Und \(\sqrt{(4x-2)^2}\) leitest du einfach mit der Kettenregel ab: Äußere mal innere Ableitung.

Was ist denn die Ableitung von \(f(x)=\sqrt{x}\)? Damit kommst du auf die äußere Ableitung. Und die Ableitung von \((4x-2)^2\) ist die innere Ableitung.

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Ich hab zuerst die wurzel gezogen und. Dann rausbekommen gx=3- -+wurzel 4x -2. Und dann zwei ableitungen rausbekommen. Geht das auch so? Wurzel kann ich vielleicht auch 1/2 mal 2 machen odrr?

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Wo hast du die Wurzel gezogen? Bei \(g(x)=3-\sqrt{(4x-2)^2}\)? Das habe ich doch extra so mit der Wurzel geschrieben, damit du das dann mit der Kettenregel ableiten kannst. Wenn du jetzt wieder die Wurzel beseitigst, bist du ja wieder bei \(g(x)=3-|4x-2|\) und wärst damit kein Stück weiter gekommen.

Und wo willst du 1/2 mal 2 rechnen?

Also: Was ist die Ableitung von \(f(x)=\sqrt{x}\)?

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Ok. 1/2wurzel(x).

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f'(x)= 1/8 ×2wurzel((4x-2)^2). Ist das richtig^^

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Um den Nenner solltest du Klammern setzen. Aber sonst ist es richtig. Die äußere Ableitung ist jetzt also \(\frac{1}{2\sqrt{(4x-2)^2}}\). Jetzt brauchst du noch die innere Ableitung. Wie lautet die?

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Inere ableitung 2×4 wurzel(4x-2)^2.

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Nein. Für die innere Ableitung musst du \((4x-2)^2\) ableiten.

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Ich dachte das ist sie. Hochzahl mal 4 mal klammer hoch 2 odrr nicht??

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Du hattest aber etwas mit Wurzel(...) geschrieben.

Wenn man die Potenzregel anwendet, schreibt man den Exponenten vor die Potenz und der Exponent wird um 1 verkleinert. Also wäre das \(2\cdot (4x-2)\). Wegen der Kettenregel müssen wir das aber noch mit der inneren Ableitung, also der Ableitung von \(4x-2\), multiplizieren. Diese Ableitung ist 4. Deswegen ist die Ableitung \(8(4x-2)\).

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Ach stimmt ja^^ danke für die hilfe

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Steht das alles unter dem bruch? Wieso verschwindet das minus??

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Wir hatten doch als äußere Ableitung \(\frac{1}{2\sqrt{(4x-2)^2}}\) und als innere Ableitung \(8(4x-2)\). Die Ableitung von g ist dann \(g'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{(4x-2)^2}}\cdot 8(4x-2)=-\frac{4(4x-2)}{|4x-2|}\).

Wo verschwindet da ein Minus?