Rechteckverfahren: f(x)= e^ (-x^2); a= 0; b= 1

Question

Hi

 f(x)= e^ (-x^2); a= 0; b= 1 mit -x^2 im Exponenten.

Bestimme ∫^b_a f nährungsweise mithilfe des Rechteckverfahrens (n= 10,20, 50)

Im Buch steht die Formel: 

Rechteckverfahren

∫_a^b f(x)dx ≈ (b-a)/n *[f(c₁)+f(c₂)+.....f(c_n)]= R_n

wobei c₁ = a+(b-a)/2n , c₂= c₁+(b-a)/n, ..... c_n = c_n-1 +(b-a)/n

Comments

Meinst du

f (x) = e^ (-x^2)
mit -x^2 im Exponenten?

Oder hast du im Exponenten (-x)^2 ?

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ja das meine ich. ich wusste nicht wie ich das genau schreiben soll.

Answer 1

Nun, das gezeigte Verfahren erzeugt n Rechtecke, deren Breite jeweils 1 / n der Intervallbreite b - a  ist und deren Höhe jeweils gleich dem Funktionswert von f an der Stelle c_i ist. Diese liegt jeweils in der Mitte zwischen den Rechteckgrenzen.
Der Flächeninhalt eines solchen Rechtecks ist annähernd gleich dem Flächeninhalt unter dem Graphen von f auf der  Breite des jeweiligen Rechtecks. 

Summiert man die Flächeninhalte aller dieser Rechtecke, so erhält man eine Näheurng für den Flächeninhalt unter dem Graphen von f im Intervall [a,b], also den Wert des Integrals von f in diesem Intervall.

Also für n = 10:

∫₀¹ exp ( x ² ) dx

≈ (1-0) / 10 * [ f ( c₁) + f ( c₂) +.... . f ( c_n ) ]

mit:

c₁ = a + ( b - a) / ( 2n ) =0 + ( 1 / 20 ) = 1 / 20
c₂ = c₁+ ( 1 / 10 ) = ( 1 / 20 ) + ( 1 / 10 ) = 3 / 20
c₃ = c₂+ ( 1 / 10 ) = ( 3 / 20 ) + ( 1 / 10 ) = 5 / 20
...
c₁₀ = ... = 19 / 20

also:

= ( 1 / 10 ) * [ f ( 1 / 20 ) + f ( 3 / 20 ) + ... + f ( 19 / 20 ) ] = R₁₀

= ... naja, und das muss man eben nun ausrechnen ...

Ebenso für n = 20 und n = 50

Viel Vergnügen ... :-)

Answer 2

Hi,

nur zu Deiner Kontrolle,

$$ R_{10}= 0.747131 $$

$$ R_{20}= 0.746901 $$

$$ R_{50}= 0.746836 $$