53800a + 5380b + 538c = 46100d + 4610e+461f
Nun, die erste (trviale) Lösung, ist offensichtlich: a = b = c = d = e = f = 0
Daneben fällt natürlich sofort auf, dass man auf der linken Seite 538 und auf der rechten Seite 461 ausklammern kann:
53800a + 5380b + 538c = 46100d + 4610e+461f
<=> 538 ( 100 a + 10 b + c ) = 461 ( 100 d + 10 e + f )
Der Term in Klammern entspricht jeweils der Darstellung einer dreistelligen Zahl. Ersetzt man den linken Klammerterm durch x und den rechten durch y, so erhält man:
<=> 538 x = 461 y
Auuflösen nach y ergibt:
<=> y = 538 * x / 461
Zerlegt man 538 und 461 in ihre Primfaktoren, so stellt man fest:
538 = 3 * 11 * 17
461 = 461
Es existiert also kein gemeinsamer Teiler, daher kann man 538 / 461 nicht kürzen. Somit kann der Term
538 * x / 461
nur dann die ganze Zahl y liefern, wenn gilt:
x = n * 461 , n ∈ N
Für y ergibt sich damit:
<=> y = 538 * n * 461 / 461
<=> y = 538 * n
Da aber y dreistellig sein muss, kann für n nur gelten: n = 1. Damit ist:
y = 538 und x = 461
Aus (siehe oben) y = 100 d + 10 e + f = 538 folgt also:
d = 5 , e = 3 , f = 8
und aus x = 461 = 100 a + 10 b + c folgt :
a = 4 , b = 6 , c = 1
