Mat(n×n, i) ist ein zweiseitiges Ideal des Ringes (Ring mit Einselement)

Question

Sei \( R \) ein Ring mit Einselement und sei \( I \subset R \) ein zweiseitiges Ideal. Ferner sei \( n \in \mathbb{N} \). Zeigen Sie:

(a) \( \operatorname{Mat}(n \times n, I) \) ist ein zweiseitiges Ideal des Ringes \( \operatorname{Mat}(n \times n, R) \).

(b) Jedes zweiseitige Ideal von \( \operatorname{Mat}(n \times n, R) \) ist von der Form \( \operatorname{Mat}(n \times n, I) \) mit einem zweiseitigen Ideal \( I \) von \( R \).

Answer 1

Die a) ist reines Nachrechnen der Definition, da passiert nichts spannendes. Zu einem Ideal J des Matrzenrings definieren wir das Ideal I in R wie folgt: I wird erzeugt von allen Einträgen der Matrizen aus J. (das ist das gesuchte Ideal). Sei E_ij die Elementarmatrix die nur an der Stelle (i,j) den Eintrag 1 hat, ansonsten 0 Wir nutzen folgende Eigenschaft von Elementarmatrizen:$$ E_{ij}AE_{k}l=a_{jk}E_{il}$$: Es ist $$E_{ij}J E_{kl} \subseteq J$$ (zwei-seitiges Ideal) und $$I E_{il} \subseteq J$$. Es gilt damit $$Mat(n\times n, I)=\sum_{i,l} IE_{il} \subseteq J \subseteq Mat(n \times n,I)$$.