Unterraum: Um welche geometrischen Objekte handelt es sich?

Question

Unterraum:

1) Zeichnen Sie in ein Koordinatensystem folgende Vektoren ein:

1/2*(-2 3)

-2*(-2 3)+ 3*(-1 2)

1/2*(-4 -3) - 3*( 0 2)

2) Betrachten sie im R^3 die folgenden Mengen:

U1= {λ*(-1 0 2 )+µ*(2 3 -1) | λ,µ ∈ ℝ} und U2={α*(-2 0 -1)+β*(-1 3 0) |α,β ∈ ℝ}

Um welche geometrischen Objekte handelt es sich? Erklären sie kurz.

3) überprüfen sie, ob folgende Vektoren in U1, U2, U1∩U2,U1∪U2 liegen: (0 6 1), (2 6 2), (3 5 2)

4)d) Bestimmen Sie den Durchschnitt U1 ∩ U2 , indem Sie die Elemente der beiden Unterräume

gleichsetzen und eine Beziehung zwischen λ und µ bzw. zwischen α und β herleiten.
Führen Sie eine Probe durch.

Answer 1

1) Zeichnen Sie in ein Koordinatensystem folgende Vektoren ein:

Die Vektoren konntest du zeichnen ?

 

2) Betrachten sie im R³ die folgenden Mengen:

Um welche geometrischen Objekte handelt es sich? Erklären sie kurz.

Das sind zwei Ebenen, die beide Als Ortsvektor den Ursprung enthalten.

 

3) überprüfen sie, ob folgende Vektoren in U1, U2, U1∩U2,U1∪U2 liegen: (0 6 1), (2 6 2), (3 5 2)

Ich mache das nur für den ersten Vektor vor.

λ·[-1, 0, 2] + µ·[2, 3, -1] = [0, 6, 1] --> Hier gibt es keine Lösung
α·[-2, 0, -1] + β·[-1, 3, 0] = [0, 6, 1] --> α = -1 ∧ β = 2
Der Vektor liegt also in U2 und in U1∪U2.

 

4)d) Bestimmen Sie den Durchschnitt U1 ∩ U2 , indem Sie die Elemente der beiden Unterräume gleichsetzen und eine Beziehung zwischen λ und µ bzw. zwischen α und β herleiten.

λ·[-1, 0, 2] + µ·[2, 3, -1] = α·[-2, 0, -1] + β·[-1, 3, 0]
λ = µ

U1 ∩ U2 = λ·[-1, 0, 2] + λ·[2, 3, -1] = λ·[1, 3, 1]

Comments

Hallo Mathecoach. Wie kommst du in d darauf,dass lambda gleich mü ist? Wenn ich u1 und u2 gleichsetzte, sehe ich erst mal,dass mü gleich beta ist? Aber was fange ich damit an? Muss ich da alles erst mal auf eine Seite bringen,daraus eine Matrix erstellen und in die Zeilenstufenform bringen? Oder mach ich es zu kompliziert?

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Nein prinzipiell machst du das schon richtig. Auf die Gleichung das Lamda gleich Mü ist bin ich auch durchs Gauss Verfahren gekommen.

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Könnten sie den schritt vielleicht näher erläutern? Wir wissen ja mü=beta ist aber wie kommen sie denn auf lambda=mü?

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Stelle ein LGS auf und löse das in Abängigkeit von µ auf nach λ, α und β.

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Hab ich gemacht und krieg da folgendes raus:
1 0 0 -1

0 1 0 -1

0 0 1 1

Ab hier weiss ich nicht weiter... Bitte um hilfe

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Steht hier nicht die letzte Zeile für 1λ = 1µ ?

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Nein die letzte zeile stehtfür 1 alpha ubd 1 beta...

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Dann hast du das doch nicht in abhängugkeit von mü gelöst.