Aufgabe:
Gegeben seien die Mengen
\( \mathcal{F}=\mathbb{R}^{\mathbb{N}}, \quad \mathcal{F}_{1}=\{a \in \mathcal{F}: a \) ist beschränkt \( \} \)
\( \mathcal{F}_{2}=\{a \in \mathcal{F}: a \) ist konvergent \( \} \)
\( \mathcal{F}_{3}=\{a \in \mathcal{F}: a \) ist Nullfolge \( \} \)
\( \mathcal{F}_{4}=\left\{a \in \mathcal{F}:\right. \) es gibt \( m \in \mathbb{N} \) mit \( a_{n}=a_{m} \) für \( \left.n \geq m\right\} \)
\( \mathcal{F}_{5}=\{a \in \mathcal{F}: a \) besitzt genau einen Häufungswert \( \} \)
\( \mathcal{F}_{6}=\{a \in \mathcal{F}: a \) ist unbeschränkt \( \} \)
Untersuchen Sie, bei welchen der Mengen \( \mathcal{F}_{1}, \ldots, \mathcal{F}_{6} \) es sich um Unterräume von \( \mathcal{F} \) handelt. Für welche \( i, j \) ist \( \mathcal{F}_{i} \) ein Unterraum von \( \mathcal{F}_{j} ? \)
Mit \( \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \) wird der Raum der reellen Folgen bezeichnet.
