Welche geometrischen Objekte werden durch x beschrieben?

Question

Sei \( \vec{x}:[0,1] \times[0,2 \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) gegeben \( \operatorname{durch} \vec{x}(t, \varphi)=(1-t, 3 \sin (\varphi), 3 \cos (\varphi))^{T} \).

Welche geometrischen Objekte werden durch \( \vec{x} \) beschrieben,

a) wenn \( t \) variabel und \( \varphi \) fest ist?

"Eine Kurve" und zwar "eine Strecke"

b) wenn \( t \) und \( \varphi \) variabel sind?

"Eine Fläche und zwar Zylindermantel"

Answer 1

\((0, 3\sin\varphi,3\cos\varphi)\) ist offensichtlich eine Kreislinie mit Radius \(3\) in der \(x_2x_3\)-Ebene.

Die erste Komponente \(1-t\) macht daraus einen Zylindermantel.

Comments

Weisst du, ob man sich das bei Geogebra anzeigen lassen kann, weil jetzt so wäre ich nicht darauf gekommen.

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ob man sich das bei Geogebra anzeigen lassen kann

Surface((1 - t, 3sin(phi), 3cos(phi)), phi, 0, 2π, t, 0, 1)

wäre ich nicht darauf gekommen

Der Kreis kommt direkt aus der Definition von \(\sin \) und \(\cos\) am Einheitskreis.

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... ob man sich das bei Geogebra anzeigen lassen kann, weil jetzt so wäre ich nicht darauf gekommen.

es geht auch mit Geoknecht3D. Mache Dir klar, zu welchen Positionen die drei Koordinaten im Raum führen:

(klick auf das Bild, dann kannst Du die Szene mit der Maus rotieren und Du bekommst einen besseren räumlichen Eindruck.)

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zylinder(0.5|0|-0.5 1|3|3|32|1)[0|90|0]

Das muss man wissen, wenn man es mit Geoknecht3D zeichnen möchte.

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  zylinder(0.5|0|-0.5 1|3|3|32|1)[0|90|0]
Das muss man wissen, wenn man es mit Geoknecht3D zeichnen möchte.

Der Zylinder selber sollte ja nicht das Problem sein. Und weil das mit der Rotation nicht so einfach ist, habe ich das hier etwas genauer beschrieben.

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und woher hole ich diese Werte? muss man die berechnen?

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Welche Werte meinst du?

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zylinder(0.5|0|-0.5 1|3|3|32|1)[0|90|0] die da

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und woher hole ich diese Werte 'zylinder(0.5|0|-0.5 1|3|3|32|1)[0|90|0]'? muss man die berechnen?

Um Deine Aufgabe zu lösen brauchst Du dies nicht! Dieses 'Geoknecht3D-Script' diente mir lediglich dazu, dieses Bild von dem Zylindermantel zu erzeugen. Für die Aufgabe ist nur das Bild selbst interessant und sollte Dir dazu dienen, Dir eine Vorstellung der Fläche$$\vec x(t,\varphi) = \begin{pmatrix}1-t\\ 3\sin(\varphi)\\ 3\cos(\varphi)\end{pmatrix}, \quad t \in[0;1], \space \varphi \in[0;2\pi]$$zu vermitteln.

Denke Dir doch mal ein paar Werte für \(t\) und \(\varphi\) aus; zum Beispiel \((t=0;\,\varphi=0)\) und zeichne den Punkt in ein Schrägbild ein. Variiere \(t\) mit \(t=0;\,1/2;\, 1\) und \(\varphi = 0;\, \pi/3;\,\pi/2,\,\pi;\, \text{u.a.}\) und berechne jeweils die Koordinaten und trage die Punkte dann in das Schrägbild ein.

Die Lösung ist:

i a) eine Strecke

i b) ein Zylindermantel

Wenn Du darüber hinaus daran interessiert bist, wie man Objekte in Geoknecht3D rotiert, dann schau Dir diesen Beitrag und den 2.Teil an.