Hi,
Die Behauptung was bewiesen werden soll, stimmt nicht ganz, wie es richtig lauten muss, siehst Du aus dem Beweis $$ \\ $$
Für Teil b folgt mit dem Hinweis $$ (1+x)^{p+1}-x^{p+1}=\sum_{k=0}^{p+1}\left(\begin {matrix}p+1 \\ k \end {matrix} \right)x^k-x^{p+1}=\sum_{k=0}^{p}\left(\begin {matrix}p+1 \\ k \end {matrix} \right)x^k $$
Der Ausdruckk wird über x summiert wobei x=1...n läuft $$ \\ $$
Damit ergibt sich die linke Seite zu
$$ \sum_{x=1}^n\left[ (1+x)^{p+1}-x^{p+1}\right]=(1+n)^{p+1}-1 $$ und die rechte Seite zu
$$ \begin{aligned} \sum_{x=1}^n\sum_{k=0}^{p}\left(\begin {matrix}p+1 \\ k \end {matrix} \right)x^k=\sum_{k=0}^{p}\left(\begin {matrix}p+1 \\ k \end {matrix} \right)\sum_{x=1}^nx^k=\sum_{k=0}^{p}\left(\begin {matrix}p+1 \\ k \end {matrix} \right)S^k_n=(p+1)S^p_n+\sum_{k=0}^{p-1}\left(\begin {matrix}p+1 \\ k \end {matrix} \right)S^k_n \end{aligned}$$ und damit die Behauptung.
Teil b wird am besten über vollständige Induktion bewiesen. Für n=1 ist die Behauptung wahr. Also muss noch folgendes bewiesen werden.
$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n+1}k^3=\left( \sum_{k=1}^{n+1}k \right)^2 \end{aligned}$$ Dies ergibt sich aus $$ \begin{aligned}\sum_{k=1}^{n+1}k^3=\sum_{k=1}^{n}k^3+(n+1)^3=\left( \sum_{k=1}^{n}k \right)^2+(n+1)^3= \left( \sum_{k=1}^{n+1}k \right)^2\end{aligned}$$
