Die Tangente w schließt eine Fläche mit den Koordinatenachsen ein. Bestimmen sie diese Fläche in Abhängigkeit von a.

Question

bei der Aufabe handelt es sich um eine Teilaufgabe aus dem Abitur 2013 NRW.

Die Aufgabenstellung lautet: Die Tangente w_a schließt im III. Quadranten eine Fläche mit den Koordinatenachsen ein. Bestimmen sie den Inhalt dieser Fläche in Abhängigkeit von a.

Ganz grundlegend hier meine erste Frage: Was ist der III. Quadrant und ist das wichtig für die Lösung der Aufgabe?

Die Tangentengleichung ist als Kontrolllösung in der Aufgabe davor vorgegeben, sie lautet:

w_a(x)= (-1/3)a²x - (1/27)a³

Zuerst habe ich jetzt versucht die Schnittpunkte der Tangente mit den Achsen zu berechnen. Dabei kam ich auf

(1/9)a= Schnittpunkt mit der x-Achse

(-1/27)a³= Schnittpunkt mit der y-Achse

Danach habe ich mich noch an der Aufleitung versucht und kam auf

W_a= - (1/6)a²x² - (1/27)a³x + c

Ich bin mir aber nicht sicher, ob das alles richtig ist. Und noch viel mehr habe ich keinerlei Ahnung, wie ich jetzt weitermachen soll. Also ich weiß, dass ich das Integral berechnen muss, aber ich weiß nicht, wie.

Answer 1

Die Stammfunktion dürfte stimmen
W_a =  -(1/6)a²x² - (1/27)a³x + c
Der Schnittpunkt mit der x-Achse dürfte allerdings x = (-1/9)*a sein
( Vorzeichen ).
Es gilt auszurechnen
[ Wa ] zwischen x=(-1/9)*a und x=0
Wa(0) - Wa((-1/9)*a)
Das c fällt raus. Wa(0) ergibt auch 0.
- Wa((-1/9)*a) = -(1/6)a² * ((-1/9)*a)² - (1/27)a³*(-1/9)*a
-(1/486)*a^4 + 1/243*a^4
-(1/486)*a^4 + 2/486*a^4
 a^4/486

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg
 

Comments

Ja, bei der Schnittstelle hatte ich einen Flüchtigkeitsfehler gemacht, es ist -1/9.

Und beim Integral wollte ich das Integral von 1/9*a bis -4/27*a³ berechnen, natürlich auch sehr klug -.-

Warum kann man c denn einfach wegfallen lassen?

Unter den Voraussetzungen konnte ich die Fläche auch bestimmen, ich komme allerdings auf ein anderes Ergebnis.

= -1/6*a²*((-1/9)*a)² - 1/27*a³*(-1/9)*a       I Klammern auflösen

= -1/6*a²*1/81*a² - 1/27*a³*(-1/9)*a            I zusammenfassen

= -1/486*a⁴ + 1/243*a⁴

= 1/486*a⁴

Beim auflösen der Klammer im ersten Schritt muss doch schließlich alles quadriert werden und nicht nur das a, oder irre ich mich da?

       

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hallo LeoAbi14,
" Warum kann man c denn einfach wegfallen lassen? "
Da c in beiden Ausdrücken Wa(0) - Wa((-1/9)*a) vorkommt
wird es einmal addiert und einmal subtrahiert und hebt sich auf.

Unsere beiden Lösungen sind identisch

1/486*a⁴  = a^4/486

Bei Fragen wieder melden.

mfg Georg

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Ähm ja.. das die identisch sind hätte ich eigentlich sehen müssen -.-

Ist das immer so mit dem c?

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Die Integrationskonstante in der Stammfunktion mitanzuführen
ist komplett richtig.

Beim Bilden eines bestimmten Integrals zwischen a und b fällt die
Integrationskonstante immer heraus : Stammfunktion an der Stelle a
minus  Stammfunktion an der Stelle b.

mfg Georg