Integralrechnung: Graphvon f mit f(x)=x3+x2 schließt mit Tangente bei x=2 und der 1. Achse eine Fläche ein.

Question

iAufgabe: Der Graph der Funktion f mit f(x)=x³+x² schließt mit der Tangente an der Stelle 2 und der 1. Achse eine Fläche ein. Berechne den Flächeninhalt.

Problem/Ansatz: Also ich weiß generell wie man Flächen unter einer Funktion berechnet. Jedoch verstehe ich hierbei nicht von welchem Intervall ich die Fläche berechnen muss. Ausserdem verstehe ich nicht was man mit "1.Achse" meint.

Answer 1

Hallo,

Schau dir mal die Skizze an. Gemeint ist der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse, rechts begrenzt durch dieTangente, links durch den Ursprung.

Gruß, Silvia

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Comments

Kannst du mir ein Lösungsvorschlag nennen? Das haben wir in dieser Art nie etwas gemacht

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Zuerst würde ich die Gleichung der Tangente aufstellen. Weißt du, wie das geht?

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Weiß ich nicht mehr..

2 in Ausgangsfunktion einsetzen? und dann f(x) ausrechnen??

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Du brauchst den Punkt (2/f(2)) und die Steigung der Funktion an der Stelle 2.

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hab die Tangentengleichung, was soll ich jetzt tun?

Tangentengleichung: 16x-20

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Steigung = Ableitung, also berechnest du zunächst f'(2).

Damit hast du "m" der allgemeinen Geradengleichung

f(x) = mx +  b bestimmt.

Um b zu ermitteln, berechnest du zunächst f(2), und setzt dann die Koordinaten des Punktes in die Geradengleichung ein.

Jetzt ermittelst du den Schnittpunkt mit der x-Achse und berechnest anschließend den Flächeninhalt der Funktion zwischen 0 und 2. Den Flächeninhalt des Dreiecks P (0|0), Q (2|0) und R(2|12) ziehst du davon ab.

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Tangentengleichung y = 16x - 20 ist richtig.

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Okay aber was soll ich jetzt machen?. Wie gesagt das ist für mich das erste mal, dass ich das so berechnen muss.

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Jetzt ermittelst du den Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse und berechnest anschließend den Flächeninhalt der Funktion zwischen 0 und 2. Den Flächeninhalt des Dreiecks P (0|0), Q (2|0) und R(2|12) ziehst du davon ab.

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Ich habe als Flächeninhalt ca. 3.13 rausbekommen. Ist das Richtig? Wenn nein Kannst du mir ein Vild von deiner Lösung schicken? Oder ich schicke dir mein Lösungsweg wenn du magst.

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Ich habe als Flächeninhalt zwischen Funktion und x-Achse 6,67 raus, der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt 4,5.

6,67 - 4,5 = 2,17 FE

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Ich gebe auf.

Ich habe das gemacht was du gesagt hast. und komme auf ein falsches ergebnis.

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Aufgeben gilt nicht. Schreibe auf wie du integriert hast.

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Die Stammfunktion ist F(x) = $\frac{1}{4}$x⁴ + $\frac{1}{3}$ x³

Das Integral geht von 0 bis 2, also brauchst du nur die 2 für x einzusetzen:

$$\frac{1}{4}\cdot 2^4+\frac{1}{3}2^3\\=\frac{1}{4}\cdot 16+\frac{8}{3}\\ =4+\frac{8}{3}=\frac{20}{3}=6,67$$

Flächeninhalt eines Dreiecks = $$\frac{g\cdot h}{2}$$

g = Strecke des Schnittpunktes der Tangente mit der x-Achse bei 1,25 bis 2, also 0,75

Die Höhe ist 12 ⇒ 0,75 * 12 : 2 = 4,5

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Hallöchen,

meine Mathelehrerin hatte uns kürzlich genau die gleiche Aufgabe gestellt und das Ergebnis von einem Fächeninhalt von 200 bestimmt. Kann mir das jemand erklären?

Lg

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Versuche einmal die Fläche abzuschätzen
/ auszuzählen.
200 ist garantiert falsch

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Okay, dankeschön.

Ich werde Sie dann wohl noch mal fragen.

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Du kannst gern nachfragen bis alles klar ist.