Willst du wirklich auf gleiche Nenner erweitern - oder willst du letztendlich die Gleichung lösen?
Falls Letzteres der Fall ist, dann zeigt sich, dass diese Gleichung keine reelle Lösung hat:
$$\frac { 1 }{ t } +2=\frac { 1 }{ t+1 }$$$$\Leftrightarrow \frac { 1 }{ t } +\frac { 2t }{ t } =\frac { 1 }{ t+1 }$$$$\Leftrightarrow \frac { 1+2t }{ t } =\frac { 1 }{ t+1 }$$$$\Leftrightarrow (1+2t)(t+1)=t$$$$\Leftrightarrow 2{ t }^{ 2 }+3t+1=t$$$$\Leftrightarrow 2{ t }^{ 2 }+2t+1=0$$$$\Leftrightarrow { t }^{ 2 }+t=-\frac { 1 }{ 2 }$$$$\Leftrightarrow { t }^{ 2 }+t=-\frac { 1 }{ 2 }$$$$\Leftrightarrow { t }^{ 2 }+t+{ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 2 }={ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 2 }-\frac { 1 }{ 2 } =-\frac { 1 }{ 4 }$$$$\Leftrightarrow { \left( t+\frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 2 }=-\frac { 1 }{ 4 }$$$$\Leftrightarrow { t+\frac { 1 }{ 2 } }=\pm \sqrt { -\frac { 1 }{ 4 } }$$
Die Wurzel aus einer negativen Zahl aber ist keine reelle Zahl, also gibt es keine reelle Zahl t, mit der die ursprünglich gegebene Gleichung eine wahre Aussage ergäbe. .