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Nach Albert Einstein besitzt ein relativistisches Teilchen der

\( m(v)=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}, \quad v<c \)

die Energie \( E=m c^{2} \). Dabei ist \( m_{0} \) die Ruhemasse, \( v \) die Geschwindigkeit \) und \( c \) die Lichtgeschwindigkeit. Die kinetische Energie ist definiert als:

\( E_{k i n}(v):=m(v) c^{2}-m_{0} c^{2} \)

Geben Sie für \( E_{k i n} \) das Taylorpolynom vierten Grades zum Zeitpunkt \( v=0 \) an.

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Nun, das Taylorpolynom vierten Grades einer Funktion f ( x ) am Entwicklungspunkt x0 ist:

T4 ( f ( x ) ; x0 )

= ( f ( x0) / 0 ! ) ( x - x0 ) 0

+ ( f ' ( x0 ) / 1 ! ) * ( x - x0) 1

+ ( f ' ' ( x0) / 2 ! ) ( x - x0 ) 2

+ ( f ' ' '  ( x0 ) / 3 ! ) * ( x - x0 ) 3

+ ( f ' ' ' ' ( x0 ) / 4 ! ) * ( x - x0 ) 4

 

Vorliegend ist Ekin ( v ) an die Stelle von f ( x ) zu setzen. Zur Lösung der Aufgabe werden also die ersten vier Ableitungen von Ekin ( v ) nach v jeweils an der Stelle v = 0 benötigt.

Es ist :

Ekin ( v ) = m ( v ) * c 2 - m0 * c 2

und somit:

Ekin ( 0 ) = m ( 0 ) * c 2 - m0 * c 2 = 0

sowie:

Ekin ' ( 0 ) = m ' ( 0 ) * c 2

Ekin ' ' ( 0  ) = m ' ' ( 0 ) * c 2

Ekin ' ' ' ( 0 ) = m ' ' ' ( 0 ) * c 2

Ekin ' ' ' ' ( 0 ) = m ' ' ' ' ( 0 ) * c 2

mit:

m ( 0 ) = m0 / √ ( 1 - ( 0 / c ) 2 ) = m0

m ' ( 0 ) =  m0 * v / ( c 2 * ( 1 - ( v 2 / c 2 ) ) 3/2 = 0

m ' ' ( 0 ) = ( m0 * ( c 2 + 2 v 2 ) ) / ( ( c 2- v 2 ) 2 * √ (1 - ( v 2 / c 2 ) ) ) = ( m0 * c 2 ) / c 4 = m0 / c 2

m ' ' ' ( 0 ) = ( 9 c 2 m0 v + 6 m0 v 3 ) / ( ( c 2 - v 2 ) 3 * √ ( 1 - v 2 / c 2 ) ) = 0

m ' ' ' ' ( 0 ) = ( 3 m0 ( 3 c 4 + 24 c 2 v 2 + 8 v 4 ) ) / ( ( c 2 - v 2 ) 4 * √ ( 1 - v 2 / c 2 ) )

= ( 9 * m0 * c 4 ) / c 8

= 9 * m0 / c 4

Daraus ergibt sich:

Ekin ' ( 0 ) = m ' ( 0 ) * c 2 = 0

Ekin ' ' ( 0  ) = m ' ' ( 0 ) * c 2 = m0

Ekin ' ' ' ( 0 ) = m ' ' ' ( 0 ) * c 2 = 0

Ekin ' ' ' ' ( 0 ) = m ' ' ' ' ( 0 ) * c 2 = 9 * m0 / c 2

 

Nun kann man das Taylorpolynom 4. Grades von Ekin ( v ) an der Stelle v = 0 hinschreiben:

T4 ( Ekin( v ) ; 0 )

= ( Ekin ( 0 )  / 0 ! ) ( v - 0 ) 0

+ ( Ekin ' ( 0 ) / 1 ! ) * ( v - 0) 1

+ ( Ekin ' ' ( 0  ) / 2 ! ) ( v - 0 ) 2

+ ( Ekin ' ' ' ( 0 ) / 3 ! ) * ( v - 0 ) 3

+ ( Ekin ' ' ' ' ( 0 ) / 4 ! ) * ( v - 0 ) 4

= 0 + 0 + ( m0 / 4 )  v 2 + 0 +  ( ( 9 * m0 / c 2 ) / 24 ) * v 4

= ( m0 / 4 ) * v 2  + ( 3 / 8 ) * ( m0 / c 2 ) * v 4 

 

Hier ein Schaubild mit den Graphen von Ekin ( v ) in rot und dem berechneten Taylorpolynom in blau :

https://www.wolframalpha.com/input/?i=10+%2F+sqrt+%28+1+-+%28+x+%2F+20+%29%C2%B2%29+*+20%C2%B2+-+10*20%C2%B2%2C+%2810%2F4+%29*x%C2%B2%2B%283%2F8%29*%2810%2F20%C2%B2%29*x^4++from+-5+to+5+

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