Albert Einstein: relativistisches Teilchen, Taylorpolynom

Question

Nach Albert Einstein besitzt ein relativistisches Teilchen der

\( m(v)=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}, \quad v<c \)

die Energie \( E=m c^{2} \). Dabei ist \( m_{0} \) die Ruhemasse, \( v \) die Geschwindigkeit \) und \( c \) die Lichtgeschwindigkeit. Die kinetische Energie ist definiert als:

\( E_{k i n}(v):=m(v) c^{2}-m_{0} c^{2} \)

Geben Sie für \( E_{k i n} \) das Taylorpolynom vierten Grades zum Zeitpunkt \( v=0 \) an.

Answer 1

Nun, das Taylorpolynom vierten Grades einer Funktion f ( x ) am Entwicklungspunkt x₀ ist:

T₄ ( f ( x ) ; x₀ )

= ( f ( x₀) / 0 ! ) ( x - x₀ ) ⁰

+ ( f ' ( x₀ ) / 1 ! ) * ( x - x₀) ¹

+ ( f ' ' ( x₀) / 2 ! ) ( x - x₀ ) ²

+ ( f ' ' '  ( x₀ ) / 3 ! ) * ( x - x₀ ) ³

+ ( f ' ' ' ' ( x₀ ) / 4 ! ) * ( x - x₀ ) ⁴

 

Vorliegend ist E_kin ( v ) an die Stelle von f ( x ) zu setzen. Zur Lösung der Aufgabe werden also die ersten vier Ableitungen von E_kin ( v ) nach v jeweils an der Stelle v = 0 benötigt.

Es ist :

E_kin ( v ) = m ( v ) * c ² - m₀ * c ²

und somit:

E_kin ( 0 ) = m ( 0 ) * c ² - m₀ * c ² = 0

sowie:

E_kin ' ( 0 ) = m ' ( 0 ) * c ²

E_kin ' ' ( 0  ) = m ' ' ( 0 ) * c ²

E_kin ' ' ' ( 0 ) = m ' ' ' ( 0 ) * c ²

E_kin ' ' ' ' ( 0 ) = m ' ' ' ' ( 0 ) * c ²

mit:

m ( 0 ) = m₀ / √ ( 1 - ( 0 / c ) ² ) = m₀

m ' ( 0 ) =  m₀ * v / ( c ² * ( 1 - ( v ² / c ² ) ) ^3/2 = 0

m ' ' ( 0 ) = ( m₀ * ( c ² + 2 v ² ) ) / ( ( c ²- v ² ) ² * √ (1 - ( v ² / c ² ) ) ) = ( m₀ * c ² ) / c ⁴ = m₀ / c ²

m ' ' ' ( 0 ) = ( 9 c ² m₀ v + 6 m₀ v ³ ) / ( ( c ² - v ² ) ³ * √ ( 1 - v ² / c ² ) ) = 0

m ' ' ' ' ( 0 ) = ( 3 m₀ ( 3 c ⁴ + 24 c ² v ² + 8 v ⁴ ) ) / ( ( c ² - v ² ) ⁴ * √ ( 1 - v ² / c ² ) )

= ( 9 * m₀ * c ⁴ ) / c ⁸

= 9 * m₀ / c ⁴

Daraus ergibt sich:

E_kin ' ( 0 ) = m ' ( 0 ) * c ² = 0

E_kin ' ' ( 0  ) = m ' ' ( 0 ) * c ² = m₀

E_kin ' ' ' ( 0 ) = m ' ' ' ( 0 ) * c ² = 0

E_kin ' ' ' ' ( 0 ) = m ' ' ' ' ( 0 ) * c ² = 9 * m₀ / c ²

 

Nun kann man das Taylorpolynom 4. Grades von E_kin ( v ) an der Stelle v = 0 hinschreiben:

T₄ ( E_kin( v ) ; 0 )

= ( E_kin ( 0 )  / 0 ! ) ( v - 0 ) ⁰

+ ( E_kin ' ( 0 ) / 1 ! ) * ( v - 0) ¹

+ ( E_kin ' ' ( 0  ) / 2 ! ) ( v - 0 ) ²

+ ( E_kin ' ' ' ( 0 ) / 3 ! ) * ( v - 0 ) ³

+ ( E_kin ' ' ' ' ( 0 ) / 4 ! ) * ( v - 0 ) ⁴

= 0 + 0 + ( m₀ / 4 )  v ² + 0 +  ( ( 9 * m₀ / c ² ) / 24 ) * v ⁴

= ( m₀ / 4 ) * v ²  + ( 3 / 8 ) * ( m₀ / c ² ) * v ⁴ 

 

Hier ein Schaubild mit den Graphen von E_kin ( v ) in rot und dem berechneten Taylorpolynom in blau :

https://www.wolframalpha.com/input/?i=10+%2F+sqrt+%28+1+-+%28+x+%2F+20+%29%C2%B2%29+*+20%C2%B2+-+10*20%C2%B2%2C+%2810%2F4+%29*x%C2%B2%2B%283%2F8%29*%2810%2F20%C2%B2%29*x^4++from+-5+to+5+