Polynomdivision mit x_0!?

Question

Hallo.

Ich habe die Funktion f(x) = x³-x² gegeben. Die Aufgabe ist:

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion an der Stelle x0 mit Hilfe der Definition 6 durch eine Grenzwertberechnung mit der x -> x₀-Methode.

Erstmal muss man ja den Differenzquotient berechen.

da hab ich:

(f(x)-f(x₀) / (x-x₀) = (x³-x² - x₀³ + x₀²) / (x-x₀)

An dieser Stelle kommt nun die Polynomdivision, aber ich weiß nicht recht wie. Ich hab keine Ahnun wie ich die x mit den x₀ verrechne. In meinem Lernmaterial finde ich auch kein Beispiel, das mir dabei hilf..

Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Answer 1

führe die Polynomdivision erst nach einer kleinen Umformung durch.$$\begin{aligned}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}&=\frac{\left(x^3-x^2\right)-\left(x_0^3-x_0^2\right)}{x-x_0}\\&=\frac{\left(x^3-x_0^3\right)-\left(x^2-x_0^2\right)}{x-x_0}\\&=\frac{\left(x^2+xx_0+x_0^2\right)\left(x-x_0\right)-\left(x+x_0\right)\left(x-x_0\right)}{x-x_0}\\&=\left(x^2+xx_0+x_0^2\right)-\left(x+x_0\right).\end{aligned}$$Bilde nun den Grenzwert für \(x\to x_0\).