Hauptsatz der Differential und Integralrechnung

Question

Habe folgende Aufgabe zu lösen:

Bestimmen Sie mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung den
folgenden Grenzwert:

lim_(n=>oo)1/n² * ∑²ⁿ_j=1  j* exp(j/n)

Ich verstehe nicht so ganz, wie ich hier den Hauptsatz anwenden soll....

Answer 1

Sei \(f(x)=4xe^{2x}\). Berechne den Flächeninhalt der von dem Graphen von \(f\) und der \(x\)-Achse im Intervall \([0,1]\) eingeschlossenen Fläche mithilfe der Riemann-Summen. Teile dazu das Intervall in \(2n\) gleich große Teilintervalle ein. Die Obersummen berechnen sich aus$$A_{2n}=\sum_{k=1}^{2n}\frac1{2n}f\left(\frac k{2n}\right)=\frac1{2n}\sum_{k=1}^{2n}\frac{4k}{2n}e^{\frac{2k}{2n}}=\frac1{n^2}\sum_{k=1}^{2n}ke^{\frac kn}.$$$$\text{Es folgt }\lim_{n\to\infty}A_{2n}=\int_0^14xe^{2x}\mathrm dx=\left.(2x-1)e^{2x}\right\vert_0^1=e^2+1.$$