Mittelwertsatz anwenden?

Question

Seien a,b ∈ ℝ und f, g: [a, b] → ℝ stetig und auf (a,b) differenzierbar.

Weiterhin sei f(a) < g(a) und f'(x) < g'(x) für alle x ∈(a,b).  Zeigen Sie, dass f(x) < g(x) für alle x ∈(a,b] gilt.

Muss ich hier den Mittelwertsatz anwenden? Ich kriege die Aufgabe nicht bewiesen :(

Wäre über schnelle Tipps und Hinweise sehr glücklich!

Answer 1

Hi,

Nach dem Hauptsatz der Infinitesimalrechnung gilt $$ \int_a^xf'(s)ds=f(x)-f(a) \text { also } f(x)=f(a)+\int_a^xf'(s)ds $$ daraus folgt $$ f(x)=f(a)+\int_a^xf'(s)ds\lt g(a)+\int_a^xg'(s)ds=g(x) $$ was zu beweisen war.

Comments

Könntest du meinen Beweisversuch eben noch überprüfen? Danke

Answer 2

Ich habe auch noch einen Beweis ( denke ich, bin mir nicht ganz sicher. Wäre nett, wenn es jemand bestätigen würde ):

Da $$f'(x) < g'(x) \forall x \in (a,b)$$, folgt

$$f'(x) - g'(x) < 0 \forall x \in (a,b)$$.
Setze $$h(x) := f(x) - g(x)$$. Es ist $$h'(x) = f'(x) - g'(x) < 0 \forall x \in (a,b)$$. Damit ist h streng monoton fallend auf (a,b). Setze a in h ein folgt $$h(a) = f(a) - g(a) < 0$$. Es ist $$h(x) = 0 \Leftrightarrow f(x) = g(x)$$, aber da h(a) < 0 und h streng monoton fallend ist, kann solch ein x nicht existieren. Würde nun ein x aus (a,b) existieren, so dass f(x) > g(x) ist, müsste aufgrund der Stetigkeit auch ein x existieren, so dass f(x) = g(x). Solch ein x gibt es nicht. Daher muss $$f(x) < g(x) \forall x \in (a,b)$$ gelten.

Comments

Hi,

ich denke das ist ok, allerdings merkst Du schon an der ganzen Argumentationskette das es wesentlicher komplizierter ist als die Verwendung des Fundamentalsatzes.

---

Ja schon ;) Aber ich persönlich hätte gerade keine andere Möglichkeit, weil wir Integralrechnung im Studium noch gar nicht hatten. Sind gerade bei der Differentialrechnung. Vielleicht ist es beim Fragesteller ja auch so. Danke :)

---

Hi,

mir ist noch eingefallen das man es noch einfacher machen kann.

$$ \text {Da } h(a)<0 \text { gilt und h streng monoton fallend ist, folgt } $$ $$ h(x)\lt h(a)\lt 0 \text { für } x\in (a,b) $$ $$\text {Und damit } f(x)\lt g(x) \text { für } x\in (a,b)$$