Totales Differential und exakte Veränderung des Ertrags

Question

Ein Ackerbau wird mit 1 Einheiten Naturdünger und mit 2 Einheiten Kunstdünger behandelt. Die Ertragsfunktion lautet:

E=f(x1,x2)=738+8x₁−3x²₁+7x₂−2x²₂+5x₁x₂

Der Düngemitteleinsatz von derzeit 9 Einheiten Naturdünger und 5 Einheiten Kunstdünger wird geändert, so dass 3.3% weniger Naturdünger und 2.5% mehr Kunstdünger eingesetzt werden.

a. Approximieren Sie die Änderung des Ertrags mit Hilfe des totalen Differentials.
b. Wie hoch ist die exakte Veränderung des Ertrags?

Ich komme nach der Ableitung nicht weiter

Answer 1

Aloha :)

Approximation

Das totale Differential \(df\) der Funktion$$f(x;y)=738+8x−3x^2+7y−2y^2+5xy$$an der Stelle \((x;y)\) lautet$$df(x;y)=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy=(8-6x+5y)dx+(7-4y+5x)dy$$Speziell an der Stelle \((x;y)=(9;5)\) lautet das totale Differential:$$df(9;5)=-21\,dx+32\,dy$$Mit den Änderungen \(dx=9\cdot(-3,3\%)=-0,297\) und \(dx=5\cdot(+2,5\%)=0,125\) können wir die Änderung des Ertrags approximieren:$$df=-21\cdot(-0,297)+32\cdot0,125=10,237$$

Exakte Änderung

Die exakte Änderung können wir ausrechnen:$$\Delta f=f(9-0,297\,;\,5+0,125)-f(9;5)=786,755-777=9,755$$

Answer 2

d/dx₁ 738+8x₁−3x₁²+7x₂−2x₂²+5x₁x₂ = 8-6x₁+5x₂

d/dx₂ 738+8x₁−3x₁²+7x₂−2x₂²+5x₁x₂ = 7+5x₁-4x₂