Wie hoch ist die exakte Veränderung des Ertrags? Totales Differential

Question

Aufgabe:

…

Ein Ackerbau wird mit x Einheiten Naturdünger und mit y Einheiten Kunstdünger behandelt. Die Ertragsfunktion lautet:

E=f(x1,x2)=15x^0.61*y^0.27
Der Düngemitteleinsatz von derzeit 7 Einheiten Naturdünger und 16 Einheiten Kunstdünger wird geändert, so dass 1.7% weniger Naturdünger und 3.9% mehr Kunstdünger eingesetzt werden.

a. Approximieren Sie die Änderung des Ertrags mit Hilfe des totalen Differentials.
b. Wie hoch ist die exakte Veränderung des Ertrags?

Problem/Ansatz:

Ich komme hier wirklich nicht auf ein logisches Ergebnis.

Freue mich auf eure Hilfe und bedanke mich schon im Voraus für Logsungsvorschäge!

Answer 1

Aloha :)

Wir benötigen das totale Differential der Funktion$$E=f(x,y)=15\cdot x^{0,61}\cdot y^{0,27}$$Gemäß der Kettenregel rechnen wir:$$dE=df=\frac{\partial f}{\partial x}\,dx+\frac{\partial f}{\partial y}\,dy$$

a) Approximation:

$$\Delta E=15\cdot0,61\,x^{-0,39}y^{0,27}\,\Delta x+15\cdot x^{0,61}\cdot0,27\cdot y^{-0,73}\,\Delta y$$$$\Delta E=15\,x^{0,61}\,y^{0,27}\left(0,61\frac{\Delta x}{x}+0,27\cdot\frac{\Delta y}{y}\right)$$$$\Delta E=f(x,y)\,\left(0,61\frac{\Delta x}{x}+0,27\cdot\frac{\Delta y}{y}\right)$$$$\Delta E=0,016628$$

b) Exakter Wert:$$\Delta E=f(6,881|16,624)-f(7|16)=103,9099899-103,9234268=-0,013437$$

\(E\) hat einen Wert von \(103,92\). bzw. \(109,31\). Daher ist die Änderung \(\Delta E\approx\pm0,01\) im Mikro-Bereich, also quasi null. Das unterschiedliche Vorzeichen wird durch den großen Wert von \(E\) relativiert.