Beweisen folgende Aussage: für a>1, n ist Naturzahl: Sigma(von 0 bis m)(1/a^n) <= a/(a-1)

Question

kann jemand mir helfen diese Aussage zu beweisen:

∑(von n=0 bis n=m) (1/a)^n ≤ a/(a-1)

vielen Dank!

Answer 1

Die Summe$$\sum _{ n=1 }^{ m }{ \frac { 1 }{ { a }^{ n } }  } =\sum _{ n=1 }^{ m }{ { \left( \frac { 1 }{ a }  \right)  }^{ n } }$$
ist die m-te Partialsumme der unendlichen geometrischen Reihe$$\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ { q }^{ n } }$$mit q = 1 / a

Für a > 1 ist:

0 < q = 1 / a < 1

und es ist:$$\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ { q }^{ n } } =\frac { 1 }{ 1-q } =\frac { 1 }{ 1-\frac { 1 }{ a }  } =\frac { a }{ a-1}$$Somit ist \(\frac { a }{ a-1 }\) der Grenzwert der unendlichen geometrischen Reihe.

Da alle Summenglieder positiv sind, wächst die Folge der Partialsummen monoton, sodass also für jede Partialsumme$$S_{ m }=\sum _{ n=1 }^{ m }{ { \left( \frac { 1 }{ a }  \right)  }^{ n } }$$gilt:$$S_{ m }\le { S }_{ m+1 }$$Insbesondere gilt daher für jede diese Partialsummen:$$S_{ m }=\sum _{ n=1 }^{ m }{ { \left( \frac { 1 }{ a }  \right)  }^{ n } } \le \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { \left( \frac { 1 }{ a }  \right)  }^{ n } } =\frac { a }{ a-1 }$$

Answer 2

$$\text{Offenbar gilt } a+\sum_{n=0}^{m-1}\frac1{a^n}-\sum_{n=0}^m\frac1{a^n}< a\text{ für alle }m>0$$$$\Leftrightarrow a+\sum_{n=1}^m\frac a{a^n}-\sum_{n=0}^m\frac1{a^n}< a$$$$\Leftrightarrow\sum_{n=0}^m\frac a{a^n}-\sum_{n=0}^m\frac1{a^n}< a$$$$\Leftrightarrow(a-1)\sum_{n=0}^m\frac1{a^n}< a$$$$\Leftrightarrow\sum_{n=0}^m\frac1{a^n}<\frac a{a-1}\text{, falls }a>1.$$

Comments

Well, that's fantastic proof. Thank you so much!