Beweise die Formeln durch vollständige Induktion: Qn=1/6 n(n+1)(2n+1) und 2^n > n^2

Question

Beweise folgende 2 Formeln durch vollständige Induktion.

Für die Summe der ersten n Quadratzahlen gilt:

\( Q_{n}=\frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1) \)

Es gilt für n ∈ ℕ

\( 2^{n}>n^{2} \)

Aus Duplikat:

Die ersten n Quadratzahlen addieren sich zu

\( Q_{n}=\sum \limits_{i=1}^{n} i^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} \)

Beweise diese Summenformel.

Comments

Also zu 2^n > n^2 hat "Julian MI" quasi schon eine Antwort geschrieben.
Denk dir einfach n+1 weg.

https://www.mathelounge.de/10985/zeigen-sie-mittels-vollstandiger-induktion-dass-mit-n≥5-gilt

Das sollte schon einmal weiter helfen.

---

Möchtest du uns noch verraten, was Qn genau ist?

---

Qn bedeutet Quadratzahl von n

---

Dann müsste Q ₂ den Wert 4 liefern. Die genannte Formel liefert jedoch den Wert 5.

---

Gemeint ist vermutlich die Summe der ersten  n  Quadratzahlen.

---

Aha. Ich glaube das sind die Partialsummen aus den ersten n Quadratzahlen.

Answer 1

Indktionsanfang:

Für  n = 1 ist  1 = Q₁ = 1·2·3 / 6 = 1.

Induktionsvoraussetzung:

Es gebe ein  n  für das die Behauptung gilt.

Induktionsschritt:

Zu zeigen ist  Q_n+1 = (n + 1)·(n + 2)·(2·n + 3) / 6.

Nach Induktionsvoraussetzung ist: 
Q_n+1 = Q_n + (n + 1)²
= n·(n + 1)·(2·n + 1) / 6 + (n + 1)²
= (n + 1)·[n·(2·n + 1) + 6·(n + 1)] / 6
= (n + 1)·(2·n² + 7·n + 6) / 6
= (n + 1)·(2·n + 3)·(n + 2) / 6.

Daraus folgt die Behauptung.

Zum zweiten Teil:
Behauptung:

Für  n > 4  gilt  2ⁿ > n².

Die Behauptung gilt offensichtlich für  n = 5.

Die Behauptung gelte für ein  n > 4. Zu zeigen bleibt: 2ⁿ⁺¹ > (n + 1)².
2ⁿ⁺¹ = 2·2ⁿ > 2·n² = n² + n² = n² + n·n > n² + 3·n = n² + 2·n + n > n² + 2·n + 1 = (n + 1)².

Comments

und was sagt mir das (n+1)^2 am ende?

---

Die letzte Zeile sagt aus, dass unter den besagten Voraussetzungen die Ungleichung
2ⁿ⁺¹ > (n + 1)²  Gültigkeit hat, was zu zeigen war.

Answer 2

Schau mal unter

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/Allgemein/summenformel1.htm

Dort findest du den Beweis mittels der vollständigen Induktion.

Comments

Wie sieht es mit der Induktion zu 2ⁿ > n² aus?

---

dort ist aber nach einer induktion mit  2ⁿ > n² + n-1 gefragt , wie passe ich es denn dann an?

---

n^2 + n - 1 ≥ n^2 , sobald n≥1.

Für n= 0: 2^0 > 0^2
stimmt, da 2^0 = 1 und 0^2 = 0.

Daraus folgt wegen verketteter Ungleichung:

2^n > n^2 + n-1 ≥n^2

Dass auch 2^n > n^2 gilt.

---

also muss ich um 2ⁿ > n²  zu beweisen über 2ⁿ > n² + n-1 gehen?

oder wie lautetet die induktion nur für 2ⁿ > n² ?

---

@Lu: Die Ungleichung  2ⁿ > n² + n - 1  gilt nicht für  1 < n < 5 . Daher ist es sinnlos, den Induktionsanfang bei  n = 0  oder  n = 1  anzusetzen.