Nullstellen der Funktion f(k) in Abhängigkeit von k berechen. x*((x²/k)-k-1)

Question

Gegeben sind die reellen Funktionen fk(x):= x*((x²/k)-k-1) mit k € R , k ≠ 0 und Dfk =R

Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion fk in Abhängigkeit von k. Geben Sie auch die zugehörigen Vielfachheiten an.

Ich hab ein großes Problem mit x²/k in der Gleichung weiß net wie ich damit umgehen soll.

Comments

Satz vom Nullprodukt:

x=0

oder:

x^2/k-k-1=0|*k

x^2-k^2-k=0

x^2=k^2-k

x= +- Wurzel aus (k^2-k)

Answer 1

Ich nehme an du meinst: 

f_k ( x ) = x * ( ( x ²  / k ) - k - 1 ) mit k € R ^k

Frage: Bist du damit ganz sicher?

Ich mach mal lieber eine normales R draus....

 

x * ( ( x ²  / k ) - k - 1 ) = 0

Hier empfiehlt sich die Anwendung des Satzes vom Nullprodukt:

Ein Produkt hat genau dann  den Wert 0, wenn mindestens eier seiner Faktoren den Wert 0 hat.

Also:

<=> x = 0 oder ( ( x ² / k ) - k - 1 ) = 0

x = 0  ist klar, ich schau nur noch die zweite Gleichung an:

( x ² / k ) - k - 1 = 0

<=>  x ² / k  = k + 1

<=> x ² = k * ( k + 1 )

<=> x = ± √ ( k *  ( k + 1 ) )

Daraus ergibt sich:

Eine doppelte Nullstelle liegt dann vor, wenn der Radikand der Wurzel den Wert 0 annimmt, wenn also gilt:

k * ( k + 1 ) = 0

Da laut Voraussetzungk ≠ 0 sein soll, ist die einzige Lösung dieser Gleichung:

k = - 1

Also hat f ( x ) für k = - 1  eine doppelte Nullstelle, nämlich bei

x = 0

Da nun aber die zuerst berechnete Nullstelle (siehe oben) ebenfalls x = 0 war, liegt dort für k = - 1 sogar eine dreifache Nullstelle vor.

Für k ≠ - 1 hingegen gilt, dass f ( x ) keine mehrfachen Nullstellen hat.