Beweise mittels vollständiger Induktion die folgenden Aussagen zu Summen und Produkten.

Question

Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion die folgenden Aussagen:

1. Für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt:

\( \sum \limits_{k=1}^{n}\left(k-\frac{1}{2}\right)=\frac{n^{2}}{2} \text {. } \)

2. Für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt:

\( \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \leq n \)

3. Für alle \( n \in \mathbb{N} \backslash\{0\} \) gilt:

\( \prod \limits_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k^{2}}\right)=\frac{n+1}{2 n} \)

Answer 1

zu 1)

Für n = 1 gilt:

$$\sum _{ k=1 }^{ n }{ (k-\frac { 1 }{ 2 } ) } =\sum _{ k=1 }^{ 1 }{ (k-\frac { 1 }{ 2 } ) } =1-\frac { 1 }{ 2 } =\frac { 1 }{ 2 } =\frac { { n }^{ 2 } }{ 2 }$$

Zu zeigen:

Wenn (Induktionsvoraussetzung):

$$\sum _{ k=1 }^{ n }{ (k-\frac { 1 }{ 2 } ) } =\frac { { n }^{ 2 } }{ 2 }$$

dann (Induktionsbehauptung):

$$\sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ (k-\frac { 1 }{ 2 } ) } =\frac { { (n+1) }^{ 2 } }{ 2 }$$

Beweis:

$$\sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ \left( k-\frac { 1 }{ 2 }  \right)  } =\sum _{ k=1 }^{ n }{ \left( k-\frac { 1 }{ 2 }  \right)  } +\left( (n+1)-\frac { 1 }{ 2 }  \right)$$$$=\frac { { n }^{ 2 } }{ 2 } +\left( (n+1)-\frac { 1 }{ 2 }  \right)$$Induktionsvoraussetzung einsetzen:$$=\frac { { n }^{ 2 } }{ 2 } +\left( \frac { 2(n+1) }{ 2 } -\frac { 1 }{ 2 }  \right)$$$$=\frac { { n }^{ 2 } }{ 2 } +\left( \frac { 2(n+1) }{ 2 } -\frac { 1 }{ 2 }  \right)$$$$=\frac { { n }^{ 2 }+2n+1 }{ 2 }$$$$=\frac { { (n+1) }^{ 2 } }{ 2 }$$

 

zu 2)

Für n = 1 gilt:

$$\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ k }  } =\sum _{ k=1 }^{ 1 }{ \frac { 1 }{ k } \le \frac { 1 }{ 1 } =1=n }$$

Zu zeigen:

Wenn (Induktionsvoraussetzung):

$$\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ k } \le n }$$

dann (Induktionsbehauptung):

$$\sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ \frac { 1 }{ k } \le n+1 }$$

Beweis:

$$\sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ \frac { 1 }{ k } } = \sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ k } +\frac { 1 }{ n+1 }  }$$Induktionsvoraussetzung einsetzen:$$\le n+\frac { 1 }{ n+1 } =\frac { n(n+1) }{ n+1 } +\frac { 1 }{ n+1 }$$$$=\frac { { n }^{ 2 }+n+1 }{ n+1 } =\frac { \left( n+1 \right) ^{ 2 } }{ n+1 } =n+1$$

 

zu 3)

Für n = 2 gilt:

$$\prod _{ k=2 }^{ n }{ \left( 1-\frac { 1 }{ { k }^{ 2 } }  \right) = } \prod _{ k=2 }^{ 2 }{ \left( 1-\frac { 1 }{ { k }^{ 2 } }  \right) = } 1-\frac { 1 }{ 4 } =\frac { 3 }{ 4 } =\frac { 2+1 }{ 2n } =\frac { n+1 }{ 2n }$$

Zu zeigen:

Wenn (Induktionsvoraussetzung):

$$\prod _{ k=2 }^{ n }{ \left( 1-\frac { 1 }{ { k }^{ 2 } }  \right) = } \frac { n+1 }{ 2n }$$

dann (Induktionsbehauptung):

$$\prod _{ k=2 }^{ n+1 }{ \left( 1-\frac { 1 }{ { k }^{ 2 } }  \right) = } \frac { (n+1)+1 }{ 2(n+1) } =\frac { n+2 }{ 2(n+1) }$$

Beweis:

$$\prod _{ k=2 }^{ n+1 }{ \left( 1-\frac { 1 }{ { k }^{ 2 } }  \right) = } \prod _{ k=2 }^{ n }{ \left( 1-\frac { 1 }{ { k }^{ 2 } }  \right) *\left( 1-\frac { 1 }{ { (n+1) }^{ 2 } }  \right)  }$$Induktionsvoraussetzung einsetzen:$$=\frac { n+1 }{ 2n } *\left( 1-\frac { 1 }{ { (n+1) }^{ 2 } }  \right) =\frac { n+1 }{ 2n } -\frac { n+1 }{ { 2n(n+1) }^{ 2 } }$$$$=\frac { (n+1)^{ 3 }-(n+1) }{ { 2n(n+1) }^{ 2 } } =\frac { (n+1)^{ 2 }-1 }{ { 2n(n+1) } } =\frac { n^{ 2 }+2n }{ { 2n(n+1) } } =\frac { n(n+2) }{ { 2n(n+1) } }$$$$=\frac { n+2 }{ { 2(n+1) } }$$

Comments

Hallo JotEs, tolle erklärung, danke.

Aber kann es sein, dass du dich bei der 2. Aufgabe geirrt hast? Nach dem Einsetzen der Induktionsvoraussetzung wandelst du

n²+n+1 in (n+1)²  um.

Aber für eine Binomische Formel müssten es doch

n²+2n+1 sein, oder?

Lg
 

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Da hast du völlig recht. Ich habe eine Abschätzung vergessen. Die letzte Zeile müsste so lauten:

$$=\frac { n^{ 2 }+n+1 }{ n+1 } \le \frac { n^{ 2 }+2n+1 }{ n+1 } =\frac { { (n+1) }^{ 2 } }{ n+1 } =n+1$$

Toll, dass du dir das alles so genau angesehen hast!

Answer 2

Hier die Lösung zur 1:

Vielleicht kannst du dich ja auch mal an der 2 & 3 selbst versuchen und hier deinen Ansatz mitteilen. Damit du auch das Prinzip der vollständigen Induktion lernst :)