Zeige: ( G , o ) ist eine nicht-abelsche Gruppe
1) Abgeschlossenheit
Zu zeigen: ∀ f , g ∈ G f o g ∈ G
f o g = ( a x + b ) o ( c x + d ) = a ( c x + d ) + b = a c x + a d + b = ( a c ) x + ( a d + b )
Wegen a ≠ 0 und c ≠ 0 (Definition von G) ist auch a c ≠ 0
=> f o g = ( a c ) x + ( a d + b ) ∈ G
2) Assoziativität:
Zu zeigen: ( f o f ) o f = f o ( f o f )
( f o f ) o f
= ( f o ( a x + b ) ) o f
= ( a ( a x + b ) + b ) o f
= ( a 2 x + a b + b ) o f
= a 2 ( a x + b ) + a b + b
= a 3 x + a 2 b + a b + b
= a ( a 2 x + a b + b ) + b
= f o ( a 2 x + a b + b )
= f o ( a ( a x + b) + b)
= f o ( f o ( a x + b ) )
= f o ( f o f )
3) Neutrales Element:
Zu zeigen: ∃ e = ( c x + d ) ∈ G f o e = e o f = f
f o e = f
<=> ( a x + b ) o e = a x + b
<=> a ( c x + d ) + b = a x + b
<=> a c x + a d + b = a x + b
<=> a c x = a x und a d + b = b
<=> c =1 und a d = 0
wegen a ≠ 0 (Definition von G):
<=> c =1 und d = 0
<=> e = c x + d = 1 x + 0
e o f
= 1 ( a x + b ) + 0
= a x + b + 0
= a x + b
= f
4) Inverses Element:
Zu zeigen: ∀f ∈ G ∃ f -1= ( c x + d ) ∈ G f o f -1 = e
f o f -1 = e = f -1 o f
<=> ( a x + b ) o ( c x + d ) = 1 x + 0
<=> a ( c x + d ) + b = 1 x + 0
<=> a c x + a d + b = 1 x + 0
<=> a c = 1 und a d + b = 0
<=> c = 1 / a und d = - b / a
<=> f -1 = ( 1 / a ) x - ( b / a )
f -1 o f
= ( ( 1 / a ) x - ( b / a ) ) o ( a x + b )
= ( 1 / a ) ( a x + b ) - ( b / a )
= x + ( b / a ) - ( b / a )
= 1 x + 0
= f
Also ist G eine Gruppe.
G ist abelsch, wenn G kommutativ ist, wenn also gilt:
∀ f,g ∈ G f o g = g o f
andernfalls ist G nicht-abelsch.
Gegenbeispiel zur Kommutativität von G:
Sei f = 2 x + 3 und g = 4 x + 7
Dann:
f o g = ( 2 x + 3 ) o ( 4 x + 7 ) = 2 ( 4 x + 7 ) + 3 = 8 x + 17
und
g o f = ( 4 x + 7 ) o ( 2 x + 3 ) = 4 ( 2 x + 3 ) + 7 = 8 x + 19
=> f o g ≠ g o f
Also ist G nicht-abelsch.
Insgesamt ist G also eine nicht-abelsche Gruppe.
q.e.d.
