Abelsche Gruppe bezüglich der Addition GL(n,K)

Question

die Menge GL(n,K) ist eine abelsche Gruppe bezüglich der Addition

Ich soll zeigen, ob die Aussage wahr oder falsch ist. Ich hätte gesagt sie ist wahr, weil es sich ja um die Addition handelt und wenn man zum Beispiel zwei Matrizen A und B hat dann ist A+B=B+A, also handelt es sich um eine abelsche Gruppe. Oder gibt es irgendein Gegenbeispiel, auf das ich gerade nicht komme?

Bei der Multiplikation wäre es keine abelsche Gruppe, weil die Aussage für n=2 und K=R falsch ist. Doch stimmt sie bei der Addition?

Answer 1

Wie sieht's denn mit dem neutralen Element aus? Hat GL(n,K) da eines bezüglich der Addition zu bieten?

Comments

Ah stimmt

Wähle beispielsweise n=2, K=R. und A = Einheitsmatrix.

Dann ist A ∈ GL (n,K) aber das neutrale Element von A ist die Nullmatrix, die nicht in GL (n, K) ist.

Stimmt das so?

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Stimmt so.

Aber du könntest einfach auch n = 1 und K = ℝ wählen. Schon da hat GL(n,K) kein neutrales Element bezüglich der Addition.

das neutrale Element von A

In eine Gruppe reicht es nicht, dass jedes Element ein neutrales Elment hat. Vielmehr muss es ein Element geben, das zu jedem Element neutral ist. Das A brauchst du also überhaupt nicht.