Wie löse ich diese Limes Aufgabe? lim_(x->0) (sin(2x) * (2(x-2))/x^2 )

Question

Kann mir jemand sagen, wie ich diese Aufgabe lösen kann ?

Ich weiß nicht mehr wie. Ich kann ja nicht durch Null teilen.

lim_(x->0) (sin(2x) * (2(x-2))/x^2 )

Answer 1

Das Gleichheitszeichen gehört jeweils vor den Limes.

lim_(x->0) (sin(2x) * (2(x-2))/x^2 )        | ich würde hier ein Produkt von 2 Brüchen

                                                                        draus machen.

= lim_(x->0) (sin(2x) * (2* 2(x-2))/(2*x*x) )

= lim_(x->0) ((sin(2x)/(2x)) * ((4(x-2))/x) )      | rechten Bruch mit x kürzen.

= lim_(x->0) ((sin(2x)/(2x)) * ((4(1-2/x))/1) )  | geht gegen 1 aber der 2. Faktor divergiert. 

Nun komme ich auch auf ± unendlich, je nach dem von welcher Seite her ich x gegen 0 laufen lasse.

Kontrolle:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim_(x-%3E0)+(sin(2x)+*+(2(x-2))%2Fx%5E2+)

Comments

Bei dem ersten Schritt steht da ...(2*2(x-2)... // warum 2*2 ?

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Ich erweitere mit 2, damit ich nachher (2x) habe unterhalb von sin(2x) .

Answer 2

  Ich fürchte das fliegt dir um die Ohren.  Wie ist eine Polstelle n-ter Ordnung definiert?    y  =  f ( x )   hat eine Polstelle n-ter Ordnung in   x0  , falls

     g  (  x  )  :=  f  (  x  )  (  x  -  x0 )  ^  n       (  1a  )

   

     stetig ist in einer ( offenen )  Umgebung von x0 .  Die Werte von g  in der Umgebung folgen ja aus f  durch ( 1a ) -    mit Ausnahme von x0 selber.  Wegen der Stetigkeit ist aber der Grenzwert definiert

      g0  :=  g  (  x0  )  :=        lim           g  (  x  )    (  1b  )

                                       x ====> x0

       g0  <  >  0        (  1c  )

     Ungleichung ( 1c )  ist wesentlich -  Grenzwert ungleich Null .   Sonst könnte n    ja fast alles sein.

         Ich werde beweisen,  dass deine Funktion f ( x )  bei x0 = 0 einen einfachen Pol hat.   Unser g  lautet

                                                      sin ( 2 x )

      g  (  x  )  =  2  (  x  -  2  )       ------------------------     (  2a  )

                                                             x

    Die Klammer vor dem Bruchstrich ist völlig unkritisch;  im Limes geht sie gegen Minus 4 .  Der Bruch hat die Krankenhausform  0  :  0  .

   lim  =  lim  2  cos  (  2  x  )  =  2     (  2b  )

   Insgesamt also Grenzwert  (  -  8  )   ;  wzbw