Bestimmen sie den Grenzwert lim_(x->0) ( 1/sin(x) - 1/x)

Question

$$ \lim _{ x\rightarrow 0 }{ (\frac { 1 }{ \sin { (x) }  }  } -\frac { 1 }{ x } ) $$

Comments

Was hast du schon probiert?

Kennst du Hospital? Da müsstest du EINEN Bruch haben.

Es sollte dann als Grenzwert 0 rauskommen. Vgl. https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim(+1%2Fx+-+1%2Fsin(x))

Answer 1

Bestimmen sie den Grenzwert von:

Du hast hier den Ausdruck ∞  - ∞ , also bildet man den Hauptnenner,

Danach ist 2 mal L'Hospital anzuwenden (0/0)

Answer 2

für x nahe 0 gilt sin(x)≈x

--> lim x-->0 1/sin(x)-1/x≈lim x--> 0 1/x-1/x=0

Comments

Hallo jc2144,

du verwendest ( auch bei einer anderen Aufgabe )

für x nahe 0 gilt sin(x) ≈ x

Das ist zwar richtig aber kann das bei Grenzwertbetrachtung 
generell einfach so verwendet werden ?

mfg Georg

---

@georgborn: Das kommt immer auf die Vorkenntnisse an (d.h. die Voraussetzungen, die in der Vorlesung bereits bewiesen wurden). Die Methode von Gast jc2144 stützt sich z.B. auf die Taylorreihe für den sinus (cosinus) https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus#Motivation_durch_Taylorreihen

kann das bei Grenzwertbetrachtung  
generell einfach so verwendet werden ?

Du musst aufpassen mit der Genauigkeit. Hier wird mit x verglichen. Da genügt es dann, dass erst bei x^3 die erste Abweichung auftritt.

Answer 3

Hier noch meine Rechnung.

lim_(x->0) ( 1/sin(x) - 1/x)          | Bruchsubtraktion

= lim( (x - sin(x)) /(x*sin(x))           | Typ (0-0)/(0*0) : Hospital

= lim( (1 - cos(x))/( sin(x) + x * cos(x))   | Typ:  (1 - 1)/(0 + 0*1) = 0/0 : Hospital

= lim (sin(x) / ( cos(x) + cos(x) + x * (-sin(x)))

= (0)/(1+1+ 0*0) = 0/2 = 0