Grenzwert einer Funktion mit ln. lim_(x -> -1) ((1/ ln(x+2)) - 1 / ( x+1))

Question

Die Aufgabe lautet

lim x -> -1

((1 bruch ln(x+2)) - 1 bruch x+1)

das ergebnis ist 1/2

leichte aufgaben gehen bei mir gut, aber solche nicht so, wo kann ich am besten anfangen zurechnen?

Answer 1

Zunächst mal würde ich das Ganze auf einen Bruch bringen

lim (x --> -1) 1/LN(x + 2) - 1/(x + 1)

= lim (x --> -1) (x + 1 - LN(x + 2)) / ((x + 1)·LN(x + 2))

L'Hospital

= lim (x --> -1) ((x + 1)/(x + 2)) / (LN(x + 2) + (x + 1)/(x + 2))

= lim (x --> -1) (x + 1) / ((x + 2)·LN(x + 2) + x + 1)

L'Hospital

= lim (x --> -1) 1 / (LN(x + 2) + 2) = 1/2

Comments

Alternativ nach dem ersten Schritt :

Substituiere  z = x+1  ;  setze die Reihenentwicklung für ln (z+1) ein ;  kürze mit z^2 ;  setze  z=0 ein.