Stochastik wahrscheinlichkeitsberechnung würfel

Question

Pro Runde würfelt ein Spieler mit einem Tetraeder (vier Dreiecke, mögliche Ergebnisse 1-4) solange er will. Die gewürfelten augenzahlen werden als Punkte addiert. Bei einer 1 bekommt er keine Punkte und der nächste Spieler ist dran. Der Spieler würfelt solange bis er mindestens 5 Punkte hat. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er dies in einer Runde schafft!

Comments

Keine Ideen? Dann habe ich eine. Zähle alle Möglichkeiten auf. die es gibt.

Ich fange mal an:

2,2,2

2,2,3

2,3

3,2

usw.

Answer 1

Die Wahrscheinlichkeit, mindestens 5 Punkte zu erreichen ist gleich der Wahrscheinlichkeit,

im ersten Wurf keine 1 zu würfeln und [ ( im zweiten Wurf eine 3 oder eine 4 zu würfeln ) oder ( im zweiten Wurf eine 2 zu würfeln und im nur dann erforderlichen dritten Wurf keine 1 zu würfeln) ].

Also:

P ("mindestens 5 Punkte")

= P ("keine 1") * ( ( P ("3") + P ("4") + P ("2" ) * P ("keine 1") )

= ( 3 / 4 ) * ( ( 1 / 4 ) + ( 1 / 4 )  + ( 1 / 4 ) * ( 3 / 4 ) ) 

= ( 3 / 16 ) + ( 3 / 16 ) + ( 3 / 16 ) * ( 3 / 4 )

= ( 12 / 64 ) + ( 12 / 64 ) + ( 9 / 64 )

= 33 / 64

= 0,515625

≈ 51,56 %

Comments

Also ich komme mit der Anzahl der Möglichkeiten (222,223,224,23,32,24,42,34,43,33,44)

auf \(\LARGE 3\cdot \frac{1}{4^3}+8\cdot  \frac{1}{4^2}= \frac{35}{64}\)

Oder über die Gegenwahrscheinlichkeit: (1,21,31,41,221)

\(\LARGE 1-( \frac{1}{4}+3 \cdot  \frac{1}{4^2}+ \frac{1}{4^3})= \frac{35}{64}\)

---

Und damit liegst du auch richtig.

Meine Fallunterscheidung war zu grob. "Im erste Wurf keine 1" hätte genauer spezifiziert werden müssen, nämlich so: 

Die Wahrscheinlichkeit, mindestens 5 Punkte zu erreichen ist gleich der Wahrscheinlichkeit,

(im ersten Wurf eine 2 zu würfeln und  im zweiten Wurf eine 2 zu würfeln und im nur dann erforderlichen dritten Wurf keine 1 zu würfeln)
oder
(im ersten Wurf eine 2 zu würfeln und  ( im zweiten Wurf eine 3 oder eine 4 zu würfeln )
oder
[( im ersten Wurf eine 3 oder eine 4 zu würfeln ) und im zweiten Wurf  keine 1 zu würfeln ]

= P ("2") * P("2") * P("keine 1") + P ("2") * ( P ("3") + P("4") ) + ( P ("3") + P("4") ) * P("keine 1")

= ( 1 / 4 ) * ( 1 / 4 ) * ( 3 / 4 ) + ( 1 / 4 ) * ( ( 1 / 4 ) + ( 1 / 4 )) + ( ( 1 / 4 ) + ( 1 / 4 )) * ( 3 / 4 )

= ( 3 / 64 ) + ( 1 / 4 ) * ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) * ( 3 / 4 ) 

= ( 3 / 64 ) + ( 1 / 8 ) + ( 3 / 8 )

= 35 / 64