Zeigen Sie mit dem ε-δ-Kriterium, dass die Funktion unstetig ist.

Question

Aufgabe H1 (Stetigkeit IV):

(a) Negieren Sie das \( \varepsilon-\delta \)-Kriterium fur Stetigkeit einer Funktion \( f: X \rightarrow Y \) zwischen zwei metrischen Räumen \( \left(X, d_{x}\right) \) und \( \left(Y, d_{Y}\right) \).

(b) Zeigen Sie mit dem \( \varepsilon \)-\( \delta \)-Kriterium, dass die Funktion

$$ f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}, \quad f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \text { fur } x=0 \\ \frac{x}{|x|} & \text { sonst, } \end{array}\right. $$

unstetig ist.

Aufgabe H2 (Stetigkeit V)

Es sei \( f: X \rightarrow Y \) eine stetige Abbildung zwischen den metrischen Râumen X und ...

(a) Zeigen Sie, dass das Urbild \( f^{-1}(A) \) einer abgeschlossenen Teilmenge A von Y abge... in \( X \) ist. Teilmenge \( B \)

(b) Ist das Bild \( f(B) \) einer abgeschlossenen Teilmenge B von X stets abgeschlossen in Y?

Ich brauche Hilfe bei der h1b und der h2b.

Answer 1

Hi, die Funktion lautet ja wohl, $$ f(x)=\begin{cases} 0, & \text{für } x=0 \\ \frac{x}{|x|} & \text{sonst } \end{cases} $$

Die Behauptung ist, f(x) ist in \( x_0=0 \) unstetig. Wenn f(x) in \( x_0=0 \) stetig währe, müsste es zu jedem \( \epsilon>0 \) ein \( \delta>0 \) geben, s.d. für alle x mit \( |x-x_0|<\delta \) gilt, \( |f(x)-f(x_0)|<\epsilon \) Mit \( x_0=0 \) ist also zu zeigen, dass für alle x mit \( |x|<\delta \) gelten soll, dass  \( |f(x)|<\epsilon \) gilt.

Wähle \( \epsilon=\frac{1}{2} \) und \( x=\frac{\delta}{2} \) dannn ist \( |x|<\delta \) aber \( |f(x)|=\left|f\left(\frac{\delta}{2}\right)\right|=1>\epsilon \)

Also ist f(x) unstetig in \( x_0 \)