Definitionsbereich bei gebrochenrationalen Funktionen bestimmen: f(x)= (x² - x -6) / (x² + x - 12)

Question

f(x)= (x² - x -6) / (x² + x - 12)

Definitionsbereich mit Erklärung

Answer 1

f(x)= (x² - x -6) / (x² + x - 12)

Der Nenner darf nicht Null annehmen, also muss man untersuchen:

(x² + x - 12) ≠ 0

Da man dies nicht so exakt ausrechnen kann, zäumt man das Pferd von hinten auf und man sucht die Nullstellen, an denen der Nenner Null wird:

(x² + x - 12) = 0

Mit beispielsweise der pq-Formel bekommt man die Lösungen x₁ = 3 und x₂ = -4. Diese Werte darf x auf keinen Fall annehmen (Nenner = 0 gleichbedeutend mit Division durch 0).

Definitionsbereich: x ∈ R ohne x = 3 und x = -4

Comments

@Bepprich

An dich die Frage: Die Lösung x = 3 ist eine hebbare Lücke. Zähler und
Nenner gleich 0. Muß die 3 dennoch aus der Definitionsmenge
herausgenommen werden ?

mfg Georg

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Zu meiner Schande, den Zähler habe ich mir gar nicht so intensiv angeguckt. Da hast du recht 3 ist eine stetig hebbare Definitionslücke und kann somit von der Definitionsmenge nicht ausgeschlossen werden.

f(x)= (x² - x -6) / (x² + x - 12) kann an auch so schreiben, wenn man die quadr. Gleichungen gelöst hat:

f(x)= [(x - 3)*(x + 2)] / [(x - 3)*(x + 4)] = (x + 2) / (x + 4)

Somit bleibt dann nur noch x = -4 übrig, wo die Funktion nicht definiert ist.

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Für x=3 ist der Funktionsterm ebenfalls nicht definiert.

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Ach ja, die Definitionslücke bei x = 3 wird sozusagen "verspachtelt", dennoch dürfte die Funktion an sich bei x = 3 nicht definiert sein

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Im Link

http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/definitionsluecke-hebbar-pole-nullstellen.html

wird eine hebbare Defintionslücke wie folgt definiert

Hebbare Definitionslücke: Haben Zähler und Nenner gemeinsame Nullstellen so zerlegt man beide in Linearfaktoren und kürzt. Damit kann man Definitionslücken beheben und den Definitionsbereich erweitern.

mfg Georg

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Die Lösung x = 3 ist eine hebbare Lücke. Zähler und Nenner gleich 0. Muß die 3 dennoch aus der Definitionsmenge herausgenommen werden?

Quotienten sind an den Nullstellen ihrer Divisoren nicht definiert.