Wie hoch ist die Pyramide? (Pyramide über einem Dreieck abc)

Question

Gegeben ist eine Pyramide über einem Dreicke \( A B C, A=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{c}2 \\ 2 \\ -1\end{array}\right) \) und der Spitze \( P= \begin{pmatrix} 6\\-5\\7 \end{pmatrix} . \) Bestimmen Sie die Höhe der Pyramide (in \( \left.P\right) \).

Comments

ja, stelle alle Vektoren und deren Beträge auf, die es dir ermöglichen, die Höhe mit Hilfe der Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck zu ermitteln.

Answer 1

Die Höhe ist einfach der Abstand von P zur Ebene durch die Punkte A, B und C.

kN = AB ⨯ AC = ([-1, 0, 2] - [0, 1, 1]) ⨯ ([2, 2, -1] - [0, 1, 1]) = [1, 0, 1]

[x, y, z] * [1, 0, 1] = [0, 1, 1] * [1, 0, 1]
x + z = 1

d = (x + z - 1)/√2

Nun den Punkt P einsetzen

d = (6 + 7 - 1)/√2 = 6·√2

Oder man nutzt das Spat-Produkt

AP = [6, -5, 7] - [0, 1, 1] = [6, -6, 6]

d = | AB ⨯ AC * AP | / | AB ⨯ AC | = | [1, 0, 1] * [6, -6, 6] | / | [1, 0, 1] | = 6·√2