Wie lautet die Funktionsgleichung aus den gegebenen Punkten?

Question

Die Funktion f ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades. Der Graph hat den Wendepunkt (-2/2,8) und den Tiefpunkt (1/0,1).

Answer 1

Hi,


Du kannst folgende Bedingungen aufstellen:

f(-2) = 2,8

f''(-2) = 0

f(1) = 0,1

f'(1) = 0


In ein Gleichungssystem überführt:

-8a + 4b - 2c + d = 14/5

-12a + 2b = 0

a + b + c + d = 1/10

3a + 2b + c = 0


Das gelöst und man kommt auf

f(x) = 0,05x^3 + 0,3x^2 - 0,75x + 0,5


Grüße

Comments

Bis zu den Bedingungen komme ich auch. Ich stehe auf dem Schlauch beim Auflösen des Gleichungssystems...

Oh nein wie peinlich!

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Hast Du es denn schon probiert?

Vorschlag: Schiebe die Gleichungen etwas durcheinander ;).


a + b + c + d = 1/10

-8a + 4b - 2c + d = 14/5

3a + 2b + c = 0

-12a + 2b = 0


Nun eliminiere in der zweiten Gleichung das d mit der ersten Gleichung.

Dann eliminiere das c in der dritten Gleichung mit der neuen zweiten Gleichung.

Und beende das ganze mit der Eliminierung von b in der letzten Zeile mit der neuen dritten ;).

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Danke für deine Hilfe! Hat mir sehr geholfen!

Answer 2

Die Funktion f ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades. Der Graph hat den Wendepunkt \(W(-2|2,8)\) und den Tiefpunkt \(T (1|0,1)\)

Ich verschiebe den Graphen um 0,1 Einheiten nach unten:

\(W(-2|2,8)\)→\(W´(-2|2,7)\)       \(T (1|0,1)\)→ \(T ´(1|0)\)

\(f(x)=a*(x-1)^2*(x-N)\)

\(W´(-2|2,7)\):

\(f(-2)=a*(-2-1)^2*(-2-N)=2,7\)

\(9a*(-2-N)=2,7\)   →\(a=-\frac{0,3}{(2+N)}\)

\(f(x)=-\frac{0,3}{(2+N)}*[(x-1)^2*(x-N)]\)

\(f´(x)=-\frac{0,3}{(2+N)}*[(2x-2)*(x-N)+(x-1)^2]\)

\(f´´(x)=-\frac{0,3}{(2+N)}*[2*(x-N)+(2x-2)+(2x-2)]\)

\(W´(-2|....)\):

\(f´´(-2)=-\frac{0,3}{(2+N)}*[2*(-2-N)+(2*(-2)-2)+(2*(-2)-2)]\)

\(-\frac{0,3}{(2+N)}*[2*(-2-N)+(2*(-2)-2)+(2*(-2)-2)]=0\)

\(N=-8\)    \(a=-\frac{0,3}{(2-8)}=\frac{0,3}{6}=\frac{1}{20}\)

\(f(x)=\frac{1}{20}*(x-1)^2*(x+8)\)

Wieder 0,1 Einheiten nach oben:

\(p(x)=\frac{1}{20}*(x-1)^2*(x+8)+0,1\)