Funktion, injektiv, surjektiv oder bijektiv?

Question

Geben Sie für folgende Funktion

\( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \quad \text { mit } \quad f(x)=\frac{|x|}{1+|x|} \)

an, ob sie injektiv, surjektiv oder sogar bijektiv ist! Wenn nicht, verändern Sie Definitionsoder Wertemenge so, dass die Funktion injektiv, surjektiv bzw. bijektiv wird und bestimmen Sie die Umkehrfunktion.

Answer 1

Die Funktion f ist achsensymmetrisch zur y-Achse, denn für alle x ∈ R gilt:

f ( x ) = f ( - x )

 

Die Funktion f ist nicht injektiv, da mindestens ein Element des Bildbereiches R mehr als höchstens ein Urbild hat. (Tatsächlich haben alle positiven Elemente des Bildbereiches jeweils zwei Urbilder.)

Beispiel:

Es ist 

f ( - 1 ) = f ( 1 ) = 0,5

also hat 0,5 die Urbilder - 1 und 1

 

Da f nicht injektiv ist, ist f auch nicht bijektiv.

 

Die Funktion f ist auch nicht surjektiv, da nicht jedes Element des Bildbereiches R zum Wertebereich von f gehört.

Beispiel:

Es existiert kein x sodass gilt: f ( x ) = - 1

also gehört - 1 nicht zum Wertebereich von f.

 

Die Funktion f wird injektiv, wenn man den Definitionsbereich einschränkt. Dafür gibt es aufgrund der Achsensymmetrie zwei Möglichkeiten:

f : R₀^- -> R

f : R₀⁺ -> R

Die Funktion f wird surjektiv, wenn man den Bildbereich auf den Wertebereich einschränkt:

f : R -> [ 0 ,1 )

Die Funktion f wird bijektiv, wenn man beides macht, also entweder:

f : R₀^- -> [ 0 ,1 )

oder:

f : R₀⁺ -> [ 0 , 1 )

 

Eine Funktion ist genau dann umkehrbar, wenn sie bijektiv ist.

 

Die Umkehrfunktion f ^-1 von

f : R₀⁺ -> [ 0 , 1 )

lautet (zunächst Berechnung)

y = | x | / ( 1 + | x | )

<=> y = x / ( 1 + x )

<=> y ( 1 + x ) = x

<=> y + y x = x

<=> x - y x = y

<=> x ( 1 - y ) = y

<=> x = y / ( 1 - y )

Vertauschen der Variablen:

=>  y = x / (1 - x )

also:

f ^-1: [ 0 , 1 ) -> R₀⁺ mit f ^-1 ( x ) = x / ( 1 - x )

So wird etwa x = 0,5 abgebildet auf f ^-1 ( 0,5 ) = 1

 

Die Umkehrfunktion f ^-1 von

f : R₀^- -> [ 0 , 1 )

lautet (zunächst Berechnung)

y = | x | / ( 1 + | x | )

<=> y = - x / ( 1 - x )

<=> y ( 1 - x ) = - x

<=> y - y x = - x

<=> x - y x = - y

<=> x ( 1 - y ) = - y

<=> x = - y / ( 1 - y )

Vertauschen der Variablen:

=>  y = - x / (1 - x )

also:

f ^-1: [ 0 , 1 ) -> R₀^- mit f ^-1 ( x ) = - x / ( 1 - x )

So wird etwa x = 0,5 abgebildet auf f ^-1 ( 0,5 ) = - 1