Erste und zweite Ableitung der Funktion f(x) = (2x) / (1+x^2) bilden

Question

Ich übe gerade für einen Mathetest, aber komme bei der ersten und somit auch der zweiten Ableitung des folgenden Bruchs nicht weiter .. ich habe es mit der Quotientenregel versucht, aber leider komme ich auf kein sinnvolles Ergebnis, mir wurde geraten es mit ausmultiplizieren zu versuchen, aber wie stelle ich das an? Vielleicht kann mir ja irgendwer helfen?

f(x) = (2x) / (1+x^2)

Answer 1

f ( x ) = ( 2 x ) / ( 1 + x ² )

Nun, mit der Quotientenregel

( u / v ) ' = ( u ' * v - u * v ' ) / v ²

ergibt sich:

f ' ( x ) = ( 2 * ( 1 + x ² ) - 2 x * 2 x ) / ( 1 + x ² ) ²

= - 4 x ² + 2 x ² + 2 / ( 1 + x ² ) ²

= ( - 2 x ² + 2 ) / ( 1 + x ² ) ²

=  ( - 2 ( x ² -1 ) ) / ( 1 + x ² ) ²

 

Ausmultiplizieren kannst du bei f ( x ) höchstens den Nenner, aber das solltest du lieber lassen, da du sonst hinterher etwaige Kürzungsmöglichkeiten nicht erkennst.

Comments

Vielen Dank erstmal! Eine Frage hätte ich noch, nutze ich im Nenner die Potenzgesetze und schreibe im Endergebnis für die 1. Ableitung (1+x^4) oder belasse ich es bei (1+x^2)^2 ? Die Frage stellt sich für mich für das weitere Vorgehen bei der 2. Ableitung.

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Richtig ist: ( 1 + x ² ) ²  -- und das ist ungleich ( 1 + x ⁴ ) !

Statt dessen gilt:

( 1 + x ² ) ² = 1 ² + 2 * 1 * x ² + x ⁴ = 1 + 2 x ² + x ⁴

Auf das Ausmultiplizieren solltest du aber verzichten und es statt dessen bei ( 1 + x ² ) ² belassen. Wenn du die zweite Ableitung bildest, wirst du erkennen warum ....

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Vielen Dank, du hast mir wirklich sehr geholfen!