Erste und zweite Ableitung einer exp-Funktion bilden

Question

Hey guys,

könnte mir jemand bitte bei dieser Aufgaben helfen?

Gegeben ist die Funktion f(x)=-5x^3·exp(-5x+4).

Wie bildet man hier die ersten beiden Ableitungen? Bitte mit allen Rechnenschritten?

Und was bedeutet das exp eigentlich? Exponential? Aber warum steht nicht einfach ein e^{} da?

Danke schon im Voraus!

Answer 1

Hier brauchen wir die Produkt-, Potenz- und Kettenregel. 

Wir haben folgendes: $$f(x)=-5x^3\cdot \text{exp}(-5x+4)=-5x^3\cdot e^{-5x+4}$$
$$f'(x)=\left(-5x^3\cdot e^{-5x+4}\right)'=\left(-5x^3\right)'\cdot e^{-5x+4}+(5x^3)\cdot\left( e^{-5x+4}\right)' \\ =-15x^2\cdot e^{-5x+4}+(-5x^3)\cdot e^{-5x+4}\cdot \left(-5x+4\right)' \\ =-15x^2\cdot e^{-5x+4}+(-5x^3)\cdot e^{-5x+4}\cdot \left(-5\right) \\ =-15x^2\cdot e^{-5x+4}+25x^3\cdot e^{-5x+4} \\ = \left(-15x^2+25x^3\right)\cdot e^{-5x+4}$$
$$f''(x)=\left( \left(-15x^2+25x^3\right)\cdot e^{-5x+4}\right)' \\ = \left(-15x^2+25x^3\right)'\cdot e^{-5x+4}+ \left(-15x^2+25x^3\right)\cdot \left(e^{-5x+4}\right)' \\ = \left(-30x+75x^2\right)\cdot e^{-5x+4}+ \left(-15x^2+25x^3\right)\cdot e^{-5x+4}\cdot \left(-5x+4\right)' \\ = \left(-30x+75x^2\right)\cdot e^{-5x+4}+ \left(-15x^2+25x^3\right)\cdot e^{-5x+4}\cdot \left(-5\right) \\ =\left(-30x+75x^2\right)\cdot e^{-5x+4}+ \left(75x^2-125x^3\right)\cdot e^{-5x+4} \\ = \left(-30x+75x^2+75x^2-125x^3\right)\cdot e^{-5x+4} \\ =  \left(-30x+150x^2-125x^3\right)\cdot e^{-5x+4}$$

Answer 2

Hab mal die 1. Ableitung gebildet, die 2. geht analog nach

der Produktregel:

Answer 3

$$f(x)=-5x^3\cdot {e}^{-5x+4}$$

Wir brauchen die Produktregel und um v´(x) auszurechnen brauchen wir die Kettenregel.

$$u=-5x^3 \qquad u´=-15x^2\\v={e}^{-5x+4}\quad \ \  v´=-5\cdot {e}^{-5x+4} \\[20pt]f´(x)=-15x^2\cdot {e}^{-5x+4}+(-5{e}^{-5x+4}\cdot -5x^3)\\f´(x)=-15x^2\cdot{e}^{-5x+4}+25x^3\cdot {e}^{-5x+4}\\f´(x)={e}^{-5x+4}\cdot(25x^3-15x^2)$$

Das leitest du einfach nochmal nach den oben genannten Regeln ab. 

Gruß

Smitty