Nun, die drei Vektoren sind genau dann linear unabhängig in Q, wenn sich keiner von ihnen als Linearkombination der beiden anderen darstellen lässt.
Prüfe also für jeden der drei Vektoren, ob er sich als Linearkombination der beiden anderen darstellen lässt, ob es also ein a , ein r und ein s gibt, sodass gilt:
$$r*{ v }_{ 1 }+s*{ v }_{ 2 }={ v }_{ 3 }$$oder$$r*{ v }_{ 2 }+s*{ v }_{ 3 }={ v }_{ 1 }$$oder$$r*{ v }_{ 3 }+s*{ v }_{ 1 }={ v }_{ 2 }$$
Sobald eines dieser Gleichungssysteme lösbar ist, sind die Vektoren linear abhängig, falls a den zur Lösung gehörenden Wert annimmt. Für alle anderen Werte von a ∈ Q sind die Vektoren dann linear unabhängig.
Also:
$$r*{ v }_{ 1 }+s*{ v }_{ 2 }={ v }_{ 3 }$$$$\Leftrightarrow r\begin{pmatrix} 0 \\ a \\ 1 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 0\end{pmatrix}$$$$\Leftrightarrow$$$$0+sa=1$$$$ra+s=a$$$$r+0=0$$$$\Leftrightarrow r=0,s=a,a=1\vee a=-1$$
Also: Für a = 1 oder a = - 1 sind die Vektoren linear abhängig.
$$r*{ v }_{ 2 }+s*{ v }_{ 3 }={ v }_{ 1 }$$$$\Leftrightarrow r\begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ a \\ 1 \end{pmatrix}$$$$\Leftrightarrow$$$$ra+s=0$$$$r+sa=a$$$$0+0=1$$
Dieses Gleichungssystem ist nicht lösbar.
$$r*{ v }_{ 3 }+s*{ v }_{ 1 }={ v }_{ 2 }$$$$\Leftrightarrow r\begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 0 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 0 \\ a \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$$$\Leftrightarrow$$$$r+0=a$$$$ra+sa=1$$$$0+s=0$$$$\Leftrightarrow s=0,r=a,a=1\vee a=-1$$
Also: Wiederum für a = 1 oder a = - 1 sind die Vektoren linear abhängig.
Insgesamt gilt also: Die Vektoren sind linear abhängig, wenn a = 1 oder a = - 1 ist.
Somit sind sie also linear unabhängig für alle a mit
a ∈ Q \ { 1 ,- 1 }
