Matrizen und Determinanten

Question

Aufgabe:

\( \left(\begin{array}{ccc}a & 1 & 1 \\ 2 & -2 & 2 \\ 1 & 0 & a\end{array}\right) \)

a) Für welche Werte von \( a \) ist \( A \) invertierbar ?

b) Für welche Werte von \( a \) ist \( \operatorname{det}(A)=-1 ? \)

c) Es sei jetzt \( a=0 . \) Berechnen Sie die Determinante der Matrix \( A \cdot\left(A^{-1}+A\right) . \)

Wie kann ich bei dem gefundenen Wert einer Determinanten rechnung herausfinden für welche Werte die Determinante invertierbar ist.

Ich habe bei der Determinantenrechnung 4-2a²-2a herausbekommen. Ich hatte versucht das mit der pq bzw. abc Formel zu lösen das hat aber nicht geklappt.

Bei der zweiten Aufgabe habe ich x1=2,1725 und x2=1,158 heraus.

Comments

4-2a²-2a = 0

0 = a^2 + a - 2

a = 1/2 ( - 1 ±√(1+8)) = 1/2(-1 ± 3) 

a1 = 1, a2 = -2

Die Determinante ist Null für a = 1 und a = -2

Die Determinate ist nicht Null für a Element {x| x ≠ 1 und x≠ -2}  <==> Matrix invertierbar, wenn du richtig gerechnet hast.

Answer 1

a) Determinante ist

\(-2a^2+2a+4=(-2)(a^2-a-2)=(-2)(a-2)(a+1)\) gemäß Vieta.

b) \(-2a^2+2a+4=-1\iff a^2-a-5/2=0\).

\(a=1/2(1\pm\sqrt{11})\).

c) \(A\cdot(A^{-1}+A)=I_3+A^2\), wobei \(I_3\) die 3x3-Einheitsmatrix ist.

Ich errechne

\(\left(\begin{array}{ccc}4&-2&2\\-2&7&-2\\0&1&2\end{array}\right)\).