Nullstellen über Substitution: x^6 - 35x^3 + 216 = 0

Question

Hallo !!

Bin gerade in der Vorbereitung zur Matheprüfung und komme mit einer Aufgabe nicht weiter.

Vielleicht könnt ihr mir helfen.

 x^6 - 35x^3 + 216 = 0

Vielen Dank schon mal

Susann

Answer 1

x⁶ - 35x³ + 216 = 0

Substituieren: z = x^3

z^2 - 35z + 216 = 0

Für z lösen mit pq-Formel

z1 = 27 ∨ z2 = 8

Nun die Substituierung nach x auflösen und damit dann das x bestimmen

z = x^3
x^3 = z
x = 3.Wurzel(z)

x1 = 3.Wurzel(27) = 3
x2 = 3.Wurzel(8) = 2

Nullstellen sind hier also 2 und 3.

Comments

Ich danke Dir.

Super erklärt und ich bin wieder ein Stück weiter.

:D

Answer 2

Weg ohne Substitution:

\(x^6 - 35x^3 + 216 = 0\)

\(x^6 - 35x^3  = -216\)

\((x^3 - \frac{35}{2})^2  = -216+(\frac{35}{2})^2=-\frac{864}{4}+\frac{1225}{4}=\frac{361}{4}              | \sqrt{~~}\)

1.)

\(x^3 - \frac{35}{2}=\frac{19}{2} \)

\(x^3 =27   |\sqrt[3]{~~} \)

\(x_1 =3 \)

2.)

\(x^3 - \frac{35}{2}=-\frac{19}{2} \)

\(x^3 =8  |\sqrt[3]{~~} \)

\(x_2 =2 \)

Das sind jetzt 2 Lösungen ∈  ℝ.

Nun existieren noch 4 Lösungen  ∈ ℂ