Rechteckiges Gartenbeet soll möglichst gross werden. Zaunlänge zum Nachbarn einrechnen?

Question

Frau Huber möchte mit 20 m Zaun ein rechteckiges Gartenbeet abgrenzen. Dabei kann sie 10 m Zaun vom angrenzenden Grundstück verwenden.
Berechnen Sie die Seiten.
So, wie muss ich die 10m Zaun zum Nachbargrundstück hin behandeln? Zu den 20m dazuzählen?
Erst normal für 20m rechnen und dann die 10m einbringen?

Comments

Handelt es sich um eine Extremwertaufgabe? Soll das Beet flächenmässig möglichst gross werden?

EDIT: Habe die präzisierenden Angaben im Kommentar oben eingefügt.

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Ja, so ist es. Maximum gesucht.

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Ich denke, du kannst die Fläche als

f(x) := x*(20-2x)
berechnen. Und die Extremalstelle dieser Funktion bestimmen.

x: Breite des Beets und (20-2x) dessen Länge. Kontrolliere aber zum Schluss, ob dann 20 - 2x < 10 gilt.

Wenn nicht, müsste ich auch nochmals überlegen.

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Hmm, die 10m werden nicht berücksichtigt?

Answer 1

Hier noch die Skizze zu meinem Vorschlag im Kommentar:

f(x) = x(20-2x) ist eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen x1 = 0 und x2= 10.

Scheitelpunkt hat x_s = (0+10)/2 = 5

==> x = 5 m und y = 10 m.

Daher ist den vorhandene Zaun gerade genug lang für diese optimale Lösung mit der Fläche

f(x) = x*y = 50 m^2

Comments

y=10 oder nicht?

Wenn Sie 10 Meter vom angrenzenden Gründstück bereits hat, ist dies doch unsere Länge, in unserem Fall y?

2x+y=20

2x+10=20 /-20

2x=10 /:2

x=5

Probe:

2*5+10=20

20=20

Sehe ich das falsch?

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Sehr gut. Habe ich inzwischen auch (vgl. oben).

Beachte aber, dass die Länge des vorhandenen Zauns nicht immer vollständig ausgenutzt werden muss. Bsp gleiche Aufgabe mit andern Zahlen hier: https://www.mathelounge.de/52464/funktionsgleichung-definitionsmenge-rechteckiges-einzaunen

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Ja, bei diesem Fall haben wir ja die Bedingung mit dem angrenzenden Grundstück, woraus wir unsere Länge folgern konnten. Deshlab wissen wir doch, dass für die Breite 10 Meter zur Verfügung stehen.

Oder etwa nicht?

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Maße scheinen zu stimmen, was ich aber nicht verstehe. Hier die Zeichnung des Aufgabenstellers:

Es soll also am Nachbarzaun noch ein unbekanntes Stück X sein, gegenüber dann die 10 Meter inkl X.

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Wäre vielleicht hilfreiche gewesen (Diese Zeichnung hier)! Nunja dann sind obige Rechnunge ja falsch!


y+y+2(10+x)-10=20

2y+2x+10=20 /-10

2y+2x=10 /-2x

2y=10-2x /:2

y=5-x


(5-x)+(5-x)+2(10+x)-10=20

20-x=20  Wäre mein Ansatz gewesen :/


Tut mir leid! Ich kann dir da nicht weiterhelfen. Lu oder jemand anders hat bestimmt nochmal eine Idee.

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Das ist mE eine unglückliche Skizze.
Du hast damit die Nebenbedingung: 20 = 2x + 10 + 2y

---> 10 - 2x = 2y

y = 5 - x

und die Zielfunktion f(x) = y*(10+x) = (5-x)(10+x)

Diese Funktion hat die NS: x1 = 5 und x2 = - 10
Das Maximum liegt bei x = -2.5. Das ist real Unsinn. Man muss daher x = 0 annehmen.

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@Lu: Das macht doch alles Sinn wenn x=0. Dann haben wir wieder unsere Länge von 10m! y haben wir ja in Abhängigkeit von x:

y=5-x y=5-0 y=5 Länge 10m und Breite 5m. Müsste stimmen, oder nicht?

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Ja. So gesehen ist das ok.  D.h. unser Resultat ist doppelt bestätigt. ;)

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Das ist doch wunderbar! :)

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OK, lasst mich kurz gedanklich nachkommen.

Wir haben für die Fläche A = x*y, für den Zaun/Umfang 20=2y+10+2x bzw. y=5-x (umgestellt).

Eingesetzt in die Flächenformel:

A=x*(5-x)=5x-x²  => f(x)=-x²+5x

f'(x)=-2x+5

f"(x)=-2

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P.S.: Die X-Seiten sind doch über 10 cm laut Skizze, oder soll das x=0 sein. Dann wäre die Seite gegenüber des Nachbarzauns nicht eingezäunt.

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Achtung: Gemäss deiner Skizze, musst du A anders rechnen:

Wir haben für die Fläche A = (x+10)*y, für den Zaun/Umfang 20=2y+10+2x bzw. y=5-x (umgestellt).

Eingesetzt in die Flächenformel:

A=(x+10)*(5-x)=.....  => f(x)=-x² + ...

f'(x)=-2x ....

f"(x)=-2

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Passt. Dürfte jetzt passen. Danke euch und ganz speziell dir, Lu!