Wie löse ich 7e^x + 14e^{-x} = 21? Quadratische Gleichung mit Substitution.

Question

Wie löse ich folgende Gleichung:

7e^x +14e^-x  = 21

Answer 1

7 e ^x +14 e ^{- x} =  21

Beide Seiten durch 7 dividieren:

<=> e ^x + 2 e ^{- x} = 3

Beide Seiten mit e ^x multiplizieren:

<=> e ^{2 x} + 2 = 3 e ^x

Auf beiden Seiten 3 e ^x subtrahieren:

<=> e ^{2 x} - 3 e ^x + 2 = 0

Substitution:  u := e ^x :

<=> u ² - 3 u + 2 = 0

Quadratische Gleichung lösen:

<=> u = 1 oder u = 2

Rücksubstitution:

<=> e ^x = 1 oder e ^x = 2

Logarithmieren:

<=> x = ln ( 1 ) = 0 oder x = ln ( 2 ) 

Comments

Muss man unbedingt mit e^x multipl.? Ksnn mann nicht gleich dort subst.?

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Doch, natürlich, du kannst auch schreiben:

7 e ^x +14 e ^{- x} =  21

<=> 7 e ^x + ( 14 / e ^x ) =  21

Substitution

<=>  7 u + ( 14 / u ) =  21

Nun musst du mit u multiplizieren:

<=> 7 u ² + 14 = 21 u

und erhältst schließlich, nach Division durch 7 und Umformung, dieselbe Gleichung:

<=> u ² - 3 u + 2 = 0

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Aha ok danke. Das war sehr hilfreich.