Substitution bei Exponentialgleichungen. Bsp. 7^x + 4 = 21*7^{-x}

Question

Substitution bei Exponentialgleichungen:

b) \( 7^{x}+4=21 \cdot 7^{-x} \)

c) \( \frac{3 \cdot 5^{x}-2}{0,5 \cdot 5^{x}}=2 \cdot 5^{x} \)

Comments

Verzichtest du auf die Substitution kommst du mit weniger Aufwand auf einfachere Weise zum richtigen Ergebnis:

$$ 7^x + 4 = 21 \cdot 7^{-x} \quad|\quad\cdot 7^x \\\left(7^x\right)^2 + 4\cdot 7^x = 21 \quad|\quad -21 \\\left(7^x\right)^2 + 4\cdot 7^x - 21 = 0 \quad|\quad \text{Satz von Viéta} \\\left(7^x - 3\right) \cdot \left(7^x + 7\right) = 0 \\7^x - 3 = 0 \\x = \frac { \ln(3) }{ \ln(7) }.$$

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Kann man hier so machen. Aber ein allgemeiner Lösungsweg - wenn es nicht um ganze Zahlen geht - hat  auch seine Vorteile.

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Nun, ich würde nur dann substituieren, wenn der Substituend ein umfangreicher oder unübersichtlicher Term ist. Das ist hier keineswegs der Fall. Substitution ist ja auch keine Lösungsmethode, sondern eine Schreibvereinfachung.

Answer 1

b) 

7^x + 4 = 21 • 7^-x   |  • 7^x

(7^x)² + 4 • 7^x = 21       ( denn  7^-x • 7^x = 7⁰ = 1)

Setze 7^x = z

z² + 4z -21 = 0

z² + pz + q = 0

pq-Formel:  p = 4 ; q = -21 

z_1,2 = - p/2 ± \(\sqrt{(p/2)^2 - q}\)

....

z₁ = 3   und   z₂ = -7

7^x = 3  oder 7^x = -7  (letzteres entfällt)

x • ln(7) = ln(3)   →  x = ln(3) / ln(7) ≈ 0,5645750340

c)

Setze z = 5^x  und löse nach z auf. Rest wie bei a)

[ Zur Kontrolle: x = LN(2)/LN(5) ∨ x = 0 ]

Gruß Wolfgang

Comments

Sie ist nicht unbedingt nötig aber sicherlich nicht "vollkommen unnötig", weil sie die quadratische Gleichung übersichtlicher macht.

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Eine  Substitution kann den Lösungsweg einfacher machen.

Answer 2

Hey hier meine Lösungen für c.)