Exponentialgleichungen: 3 * 9^{-3} + 9^x = 4

Question

Lösen Sie die Gleichung.

Hinweis: Substituieren Sie zunächst u = a^x.

a) (5^x)^2 - 4 * 5^x = 0

b) 3^{2x} - 4 * 3^x + 3 = 0

c) 2^{2x} - 3 * 2^{x+1} = -8

d) 3 * 9^{-3} + 9^x = 4

Answer 1

a) (5^x)² - 4 * 5^x = 0

Substitution u = 5 ^x :

<=> u ² - 4 u = 0

<=> u ( u - 4 ) = 0

<=> u = 0 oder u = 4

Rücksubstitution:

<=> 5 ^x = 0 oder 5 ^x = 4

5 ^x = 0 hat keine Lösung, also

<=> 5 ^x = 4

<=> ln ( 5 ^x ) = ln ( 4 )

<=> x * ln ( 5 ) = ln ( 4 )

<=> x = ln ( 4 ) / ln ( 5 ) ≈ 0,861353

 

b) 3^2x - 4 * 3^x + 3 = 0

Substitution: u = 3 ^x :

<=> u ² - 4 u + 3 = 0

Quadratische Gleichung lösen und dann Rücksubstitution durchführen.

Die Lösungen sind x = 0 und x = 1

 

c)

2^2x - 3 * 2^x+1 = -8

<=> 2^2x - 3 * 2 * 2^x = -8

Substitution: u = 2 ^x :

<=> u ² - 6 * u = - 8

Quadratische Gleichung lösen und dann Rücksubstitution durchführen.

Die Lösungen sind x = 1 und x = 2

 

d)

3 * 9^-3 + 9^x = 4

Substitution: u = 9 ^x :

<=> 3 * 9^-3 + u = 4

<=> u = 4 - 3 * 9 ^-3 = 971 / 243

Rücksubstitution:

<=> 9 ^x = 971 / 243

<=> x * ln ( 9 ) = ln ( 971 / 243 )

<=> x = ln ( 971 / 243 ) / ln ( 9 ) ≈ 0.63046128