Morgen Mathearbeit zum Thema Ableitungen - Differenzenquotienten, Ableitungen bestimmen

Question

Ein paar Aufgaben im Buch versteh ich nicht... Bitte helft mir...^^

 

Aufgabe 1

a)  Bestimme näherungsweise die Ableitung der Funktion f an der Stelle x₀ = -1 mithilfe des Differenzenquotienten für kleine h.

A) f(x)= x² + 1    B) f(x)= x³     

Zeichne den Graphen von f und die Gerade mit der in a) berechneten Steigung durch den Punkt  P (x₀/ f(x₀)). Überprüfe ob die Steigung der Geraden mit der Steigung von f im Punkt P übereinstimmt.

 

Aufgabe 2

 

Bestimme näherungsweise die Ableitung von f an der Stelle x_0. Und da ist halt so ein Graph mit einer Tangente und ein beliebiger x₀  Punkt...

Wie soll man das bestimmen?

 

Aufgabe 3

 

Da ist so ein Graph und der gibt die Flughöhe an, die bei einem zweistündigen Flug eines Sportflugzeugs erreicht wurde. Flughöhe in meter und dann halt 10 Uhr bis 11.30 Uhr...

 

Und ich soll in dem Graphen rausfinden was zum Beispiel um 10.15 Uhr die momentane Änderungsrate war...

 

Letze Aufgabe

 

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 0,5*x³

A) Bestimme die Gleichung der Tangente t am Graphen von Funktion f im Punkt x₀ =2

Antwort: t(x)= 6*x-8

B) In welchem Punkt auf dem Graphen von f hat die Tangente keinen weiteren Schnittpunkt mit dem Graphen von f?

 

hoffe ihr könnt mir helfen

Comments

Ihr könnt auch nur eine Aufgabe machen am wichtigsten ist mir die letzte...

Answer 1

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 0,5*x³

A) Bestimme die Gleichung der Tangente t am Graphen von Funktion f im Punkt x₀ =2

Antwort: t(x)= 6*x-8

f ' (x) = 1.5x^2 

f' (2) = 3/2 * 4 = 6

t(x) = 6x + q

t(2) = 12 + q 

f(2) = 0.5*2^3 = 4

12 + q = 4

q=-8

t(x) = 6x + 8

 

B) In welchem Punkt auf dem Graphen von f hat die Tangente keinen weiteren Schnittpunkt mit dem Graphen von f?

Das musst im Punkt 0(0,0) sein. Dort ist die Steigung 0. Die Gleichung der Tangente ist t(x) = 0.

f(x) = 0.5 x^3 schneidet die x-Achse nicht mehr.

Alle andern Tangenten schneiden irgendwo auf der andern Seite der y-Achse die Kurve nochmals. Vgl. Skizze inkl. Tangente von Aufgabe a)

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Aufgabe 2

Bestimme näherungsweise die Ableitung von f an der Stelle x_0. Und da ist halt so ein Graph mit einer Tangente und ein beliebiger x₀  Punkt...

Wie soll man das bestimmen?

Suche non auf der Tangente zwei Punkte bei denen du die Koordinaten exakt ablesen kannst.

Vielleicht 

A(1,3) und B(5,-6)

Nun rechnest du m = (-6 -3)/(5-1) = -9/4 =  -2.25

Allgemein: m = y-Unterschied / x-Unterschied

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Meine Lehrerin meinte irgendiwe dass bei der letzten Aufgabe bie B) des mit dem Ursprung nicht rauskommen kann...des ist falsch

es geht irgendwie so: m=  y-f(a)/ x-a  = f ' (a)   -> y = f ' (a) * (x-a)

aber irgendwie wißt ich nicht was sie damit meint?

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An Georgborn


Da wo du gesagt hast, dass es einen Schnittpunkt heißen soll, des stimmt nicht, es soll schon so heißen... also keinen schnittpunkt. Und das heißt dass die Tangente den Graphen berühren kann aber nicht schneidet....

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Die x-Achse y = 1.5*0^2 *0 = 0

y = 0

ist die einzige Gerade, die genau einen Punkt mit dem Graphen gemeinsam hat. Selbstverständlich schneidet sie die Kurve in 0(0,0).

Da das keine echte Tangente ist, muss man streng genommen sagen, dass es keine Tangente gibt, die den Graphen nicht auch noch schneidet.

Answer 2

  f ( x )  = 0.5 * x^3
  f ´( x ) = 1.5 * x^2
  f ´ ( 2 ) = 1.5 * 2^2 = 6

  Der Berührpunkt liegt sowohl auf der Tangente
als auch auf der Kurve.
  f ( 2 ) = 0.5 *2^3 = 4

  P ( 2 l 4 )
  Tangentengleichung für P
  y = m * x + b
  4 = 6 * 2 + b
  b = -8

  t = 6 * x - 8

(* besser ist die Antwort von LU

" In welchem Punkt auf dem Graphen von f hat die Tangente
keinen weiteren Schnittpunkt mit dem Graphen von f ?
Hier muß es heißen " einen weiteren Schnittpunkt ".

 f  ( x ) = t ( x )
 0.5 * x^3 = 6 * x - 8
 x^3 = 12 * x - 16
 x^3 - 12 * x = -16
Eine Lösung ist  x = 2:
Die andere Lösung ist x = -4
Die Aufagbe läßt sich nach meinem Kenntnisstand
nur mit einem höhrem mathematischen Verfahren
berechnen z.B. dem Newton-Näherungsverfahren.

Nachtrag

A) Bestimme die Gleichung der Tangente t am Graphen von Funktion f im Punkt x₀ =2
B) In welchem Punkt auf dem Graphen von f hat die Tangente keinen
     weiteren Schnittpunkt mit dem Graphen von f?
     Von der sprachlichen Ausdrucksweise habe ich gedacht es handelt sich
     um dieselbe Tangente.

 *)

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg

 

Comments

An Georgborn Da wo du gesagt hast, dass es einen Schnittpunkt heißen soll, des stimmt nicht, es soll schon so heißen... also keinen schnittpunkt. Und das heißt dass die Tangente den Graphen berühren kann aber nicht schneidet....

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@jjb89

" In welchem Punkt auf dem Graphen von f hat die Tangente keinen
weiteren Schnittpunkt mit dem Graphen von f ? "

  Hatte ich, wie ausgeführt, falsch verstanden.

  Wie du schilderst , Meinung deiner Lehrerin,  gibt die Frage Raum für
verschiedenste Interpretationen.

  Ich meine jetzt :

  - unter " die Tangente " sind alle Tangenten der Kurve gemeint.
  - es wird eine Tangente gesucht die keinen weiteren Schnittpunkt
     mit der Kurve hat.

  " Und das heißt dass die Tangente den Graphen berühren kann
aber nicht schneidet.... ". Halte ich für falsch.

  Das werde ich jetzt noch untersuchen.

  mfg Georg

Anmerkung . Das Thema hatten wir vor ein paar Tagen hier im Forum
  - eine Tangente ist ein Berührpunkt. Es gibt eine Tangente die zugleich
    Schnittpunkt ist. Dies ist die Wendetangente.

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  Zunächst wurde die allgemeine Tangentengleichung aufgestellt

  t_a ( x ) = 1.5 * a^2 * x - a^3

  wobei a der x-Wert des Berührpunkts der Tangente ist.

  Dann wurden Schnitt- oder Berührpunkt berechnet über

  f ( x ) = t_a ( x )

  0.5 * x^3 = 1.5 * a^2 * x - a^3

  Es ergeben sich die Punkte x = a, x = -2a,
also 2 Punkte für jede Tangente. Ausnahme
a = 0 dann gibt es nur 1 Punkt

t ₀ ( x ) = 0

 Die Tangente ist die x-Achse.

  Ich denke dies dürfte die Lösung / Nachweis der Frage sein.

  mfg Georg

  Zur Auflösung der Gleichung siehe

https://www.mathelounge.de/105030/kubische-gleichung-nullstellen-gesucht-von-f-x-0-5-x-3-5-a-2-x-a-3?show=105035#c105035

  vom heutigen Tage.