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Es geht in dieser Aufgabe darum, zu zeigen, warum der Umfang eines N-Ecks, welches um den Kreis herum gelegt wird, größer ist als der Umfang des Kreises. Diese Aussage wird benötigt, um die Zahl Pi mit Hilfe von einem umbeschriebenen und einem einbeschriebenen n-Eck anzunähern.
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Schau dir einen Teilbereich (ein Dreieck)  des n-Eckes nach Zeichnung an und operiere mit dem Pythagoras. Dann wirst sehr schnell eine Beziehung zwischen Umfang und Seitenlänge des n-Eckes finden.

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Kannst du in folgendem Bild zeigen das eine Tangente an den Kreis immer größer ist als der Kreisbogen darunter? Das sollte dann für alle Tangentenstücke gelten und demnach auch für das umliegende Polygon.

Avatar von 488 k 🚀
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Der Umfang eines regelmäßigen n-Ecks mit Seitenlänge a ist $$U = n \cdot a$$. Der Inkreisradius ist $$r_i = \frac{a}{2 tan( \frac{\pi}{n} ) }$$. Damit ist also der Inkreisumfang $$2 \cdot \pi \cdot r_i = \frac{ \pi \cdot a } { tan( \frac{ \pi }{ n } ) }$$ und dieser soll kleiner als U sein.

$$ 2 \cdot \pi \cdot r_i = \frac{ \pi \cdot a }{ tan( \frac{ \pi }{ n } } < n \cdot a \Leftrightarrow \frac{\pi}{tan(\frac{\pi}{n})} < n$$

So, das müsste man beweisen für n >= 3. Daran scheitere ich aber gerade :(
Avatar von 4,3 k

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