Wie kann man beweisen, dass der Umfang eines um einen Kreis umbeschriebenen n-Ecks größer ist als der Kreisumfang?

Question

Es geht in dieser Aufgabe darum, zu zeigen, warum der Umfang eines N-Ecks, welches um den Kreis herum gelegt wird, größer ist als der Umfang des Kreises. Diese Aussage wird benötigt, um die Zahl Pi mit Hilfe von einem umbeschriebenen und einem einbeschriebenen n-Eck anzunähern.

Comments

Schau dir einen Teilbereich (ein Dreieck)  des n-Eckes nach Zeichnung an und operiere mit dem Pythagoras. Dann wirst sehr schnell eine Beziehung zwischen Umfang und Seitenlänge des n-Eckes finden.

Answer 1

Kannst du in folgendem Bild zeigen das eine Tangente an den Kreis immer größer ist als der Kreisbogen darunter? Das sollte dann für alle Tangentenstücke gelten und demnach auch für das umliegende Polygon.

Answer 2

Der Umfang eines regelmäßigen n-Ecks mit Seitenlänge a ist $$U = n \cdot a$$. Der Inkreisradius ist $$r_i = \frac{a}{2 tan( \frac{\pi}{n} ) }$$. Damit ist also der Inkreisumfang $$2 \cdot \pi \cdot r_i = \frac{ \pi \cdot a } { tan( \frac{ \pi }{ n } ) }$$ und dieser soll kleiner als U sein.

$$ 2 \cdot \pi \cdot r_i = \frac{ \pi \cdot a }{ tan( \frac{ \pi }{ n } } < n \cdot a \Leftrightarrow \frac{\pi}{tan(\frac{\pi}{n})} < n$$

So, das müsste man beweisen für n >= 3. Daran scheitere ich aber gerade :(