Als erstes bestimmst du über das charakteristische Polynom
det(A-λE) = 0
die Eigenwerte der Matrix. Sie lauten
λ1 = 2 mit der algebraischen Vielfachheit 1
λ2 = -1 mit der algebraischen Vielfachheit 2
und damit die Eigenvektoren
v1 = (1,1,1)
v2 = (-1, 0, 1)
v3 = (-1, 1, 0)
Die Matrix nimmt nun in einer Basis aus den Eigenvektoren Diagonalgestalt an:
$$ J = \left( \begin{array} { c c c } { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 2 } \end{array} \right) $$
Jetzt bestimmen wir sehr einfach die n-te Potenz:
$$ J ^ { n } = \left( \begin{array} { c c c } { ( - 1 ) ^ { n } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { ( - 1 ) ^ { n } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 2 ^ { n } } \end{array} \right) $$
Um sie zurückzutransformieren wird die Koordinatenwechselmatrix benötigt, da wir in die Einheitsbasis zurücktransformieren ist das die Matrix bestehend aus den Eigenvektoren:
$$ S = \left( \begin{array} { c c c } { - 1 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) $$
Matrizen werden transformiert gemäß
An = S*Jn*S-1
also braucht man noch S-1:
$$ S ^ { - 1 } = \frac { 1 } { 3 } \left( \begin{array} { c c c } { - 1 } & { - 1 } & { 2 } \\ { - 1 } & { 2 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right) $$
Das ergibt dann:
$$ A ^ { n } = \left( \begin{array} { c c c } { - 1 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c c } { ( - 1 ) ^ { n } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { ( - 1 ) ^ { n } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 2 ^ { n } } \end{array} \right) \frac { 1 } { 3 } \left( \begin{array} { c c c } { - 1 } & { - 1 } & { 2 } \\ { - 1 } & { 2 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right) \\ = \left( \begin{array} { c c c } { - ( - 1 ) ^ { n } } & { - ( - 1 ) ^ { n } } & { 2 ^ { n } } \\ { 0 } & { ( - 1 ) ^ { n } } & { 2 ^ { n } } \\ { ( - 1 ) ^ { n } } & { 0 } & { 2 ^ { n } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c c } { - 1 } & { - 1 } & { 2 } \\ { - 1 } & { 2 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right) · \frac { 1 } { 3 } \\ \frac{1}{3} \left( \begin{array} { c c c } { 2 · ( - 1 ) ^ { n } + 2 ^ { n } } & { - ( - 1 ) ^ { n } + 2 ^ { n } } & { - ( - 1 ) ^ { n } + 2 ^ { n } } \\ { - ( - 1 ) ^ { n } + 2 ^ { n } } & { 2 · ( - 1 ) ^ { n } + 2 ^ { n } } & { - ( - 1 ) ^ { n } + 2 ^ { n } } \\ { - ( - 1 ) ^ { n } + 2 ^ { n } } & { - ( - 1 ) ^ { n } + 2 ^ { n } } & { 2 · ( - 1 ) ^ { n } + 2 ^ { n } } \end{array} \right) $$
Und das ist das Ergebnis. Das ganze Gerechne überlass ich mal dir, du willst ja auch was lernen dabei. :-)
Hier steht jetzt aber eigentlich alles, was du brauchst.