Matrix potenzieren, allgemeine Formel für A^n. Basis aus Eigenvektoren.

Question

Ich muss bei meiner Aufgabe die Matrix

$$ A = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) $$

zu Aⁿ potenzieren. Ich habe mir schon die ersten fünf Potenzen aufgeschrieben, komme aber leider nicht auf eine allgemeine Formel.

Hat da vielleicht jemand eine Idee?

Answer 1

Als erstes bestimmst du über das charakteristische Polynom

det(A-λE) = 0

die Eigenwerte der Matrix. Sie lauten

λ₁ = 2 mit der algebraischen Vielfachheit 1

λ₂ = -1 mit der algebraischen Vielfachheit 2

und damit die Eigenvektoren

v₁ = (1,1,1)

v₂ = (-1, 0, 1)

v₃ = (-1, 1, 0)

Die Matrix nimmt nun in einer Basis aus den Eigenvektoren Diagonalgestalt an:

$$ J = \left( \begin{array} { c c c } { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 2 } \end{array} \right) $$

Jetzt bestimmen wir sehr einfach die n-te Potenz:

$$ J ^ { n } = \left( \begin{array} { c c c } { ( - 1 ) ^ { n } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { ( - 1 ) ^ { n } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 2 ^ { n } } \end{array} \right) $$

Um sie zurückzutransformieren wird die Koordinatenwechselmatrix benötigt, da wir in die Einheitsbasis zurücktransformieren ist das die Matrix bestehend aus den Eigenvektoren:

$$ S = \left( \begin{array} { c c c } { - 1 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) $$

Matrizen werden transformiert gemäß

Aⁿ = S*Jⁿ*S^-1

also braucht man noch S^-1:

$$ S ^ { - 1 } = \frac { 1 } { 3 } \left( \begin{array} { c c c } { - 1 } & { - 1 } & { 2 } \\ { - 1 } & { 2 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right) $$

Das ergibt dann:

$$ A ^ { n } = \left( \begin{array} { c c c } { - 1 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c c } { ( - 1 ) ^ { n } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { ( - 1 ) ^ { n } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 2 ^ { n } } \end{array} \right) \frac { 1 } { 3 } \left( \begin{array} { c c c } { - 1 } & { - 1 } & { 2 } \\ { - 1 } & { 2 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right) \\ = \left( \begin{array} { c c c } { - ( - 1 ) ^ { n } } & { - ( - 1 ) ^ { n } } & { 2 ^ { n } } \\ { 0 } & { ( - 1 ) ^ { n } } & { 2 ^ { n } } \\ { ( - 1 ) ^ { n } } & { 0 } & { 2 ^ { n } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c c } { - 1 } & { - 1 } & { 2 } \\ { - 1 } & { 2 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right) · \frac { 1 } { 3 } \\ \frac{1}{3} \left( \begin{array} { c c c } { 2 · ( - 1 ) ^ { n } + 2 ^ { n } } & { - ( - 1 ) ^ { n } + 2 ^ { n } } & { - ( - 1 ) ^ { n } + 2 ^ { n } } \\ { - ( - 1 ) ^ { n } + 2 ^ { n } } & { 2 · ( - 1 ) ^ { n } + 2 ^ { n } } & { - ( - 1 ) ^ { n } + 2 ^ { n } } \\ { - ( - 1 ) ^ { n } + 2 ^ { n } } & { - ( - 1 ) ^ { n } + 2 ^ { n } } & { 2 · ( - 1 ) ^ { n } + 2 ^ { n } } \end{array} \right) $$

Und das ist das Ergebnis. Das ganze Gerechne überlass ich mal dir, du willst ja auch was lernen dabei. :-)
Hier steht jetzt aber eigentlich alles, was du brauchst.

Comments

Klasse Lösung.

Die Lösung wird ja auch von Wolfram Alpha angezeigt allerdings natürlich ohne Lösungsweg.

Jetzt habe ich auch verstanden wie man darauf kommt.

PS: Müsste es nicht oben lauten: "Die Matrix nimmt nun in einer Basis aus den Eigenwerten Diagonalgestalt an."

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Nein, das ist schon richtig, wenn auch missverständlich:

Transformiert man die Matrix in die Basis, die aus den Eigenvektoren besteht, dann nimmt sie Diagonalgestalt an, wobei die Diagonalelemente die Eigenwerte mit der entsprechenden Vielfachheit sind.

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Die Lösung ist super, vielen Dank (auch Jahre später noch benötigt). Ich brauche nur kurze Unterstützung zum Teilsatz "...da wir in die Einheitsbasis zurücktransformieren...". Klar, dass die Koordinatenwechselmatrix genötigt wird, aber woher weiß ich, dass ich in die Einheitsbasis zurücktransformiere?

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Die Matrix A ist ja in der kanonischen Basis (Einheitsbasis) angegeben, man muss dahin zurück.

Answer 2

Ich habe hier auf Wikipedia etwas gefunden, was die helfen könnte:

https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixexponential#Diagonalisierbare_Matrizen

Mir ist aufgefallen, dass es sich um eine Diagonalmatrix handelt, deshalb könnte es was sein....

Ansonsten habe ich hier noch was gefunden:

https://de.wikipedia.org/wiki/Jordansche_Normalform

 

Ich hoffe, ich konnte helfen....

Simon

Comments

wie kommt man auf die Matrix S  ?Man sieht ja dass dieMatrix S aus den eigenvektoren besteht, nur sind diese in einer aberen Reihenfolge oder irre ich mich ?

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ganz einfach indem man die Eigenwerte transponiert bzw. als Vektoren schriebt und dann als SPaltenvektoren hintereinander schreibt bzw. in einer Matrix zusammenfasst.