Beweis: 4n^3-n ist durch 3 teilbar - Stimmt das und jetzt?

Question

4n³-n ist durch 3 teilbar

ich setze für n 2 ein und erhalte: 30 und 30 ist durch 3 teilbar= 10

Aber wie kann man das beweisen?

Answer 1

Hi Emre,

wie gehabt: Vollständige Induktion:

Verankerung

Der Satz gilt für n = 1, denn 4*1³ - 1 = 4 - 1 = 3 ist durch 3 teilbar.

Annahme

Der Satz gilt für n

Schritt

Dann soll er auch für n + 1 gelten

4 * (n+1)³ - (n + 1) =

4 * (n³ + 3n² + 3n + 1) - n - 1 =

4n³ + 12n² + 12n + 4 - n - 1 =

(4n³ - n) + 12n² + 12n + 3 =

(4n³ - n) + 3 * (4n² + 4n + 1)

Blau ist nach Annahme durch 3 teilbar, rot natürlich auch, und:

Durch 3 teilbar + durch 3 teilbar = durch 3 teilbar :-)

 

Lieben Gruß

Andreas

Comments

Hallo Andreas :) 

Ich frage zwar viel, aber ich bin nicht mal an der Uni ^^. 

ehm wie kommst du auf 12n² und alles? ich glaube weil du einfach ausmultipliziert hast oder?? 

Und das Probem ist, dass ich es so wenn ich das so sehe eig nachvollziehen kann, aber wenn ich es mal bei einer anderen Aufgabe versuchen will, kann ich das wieder nicht :(

das ist ein komplett anderes denkmuster Oo

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Fragen kostet nichts :-D

(n + 1)³ = (n + 1) * (n + 1) * (n + 1) = (n² + 2n + 1) * (n + 1) = n³ + n² + 2n² + 2n + n + 1 = n³ + 3n² + 3n + 1

Auf "12n² und alles" bin ich in der Tat durch das Ausmultiplizieren gekommen :-)

 

Das Schema, was man sich aneignen muss, ist folgendes:

Bei der Induktionsverankerung suchen wir uns ein möglichst kleines n aus, für das die Behauptung gilt (normalerweise ist das n = 0 oder n = 1).

Wenn wir nun annehmen, dass die Behauptung für n gilt und nachweisen können, dass sie dann auch automatisch für n + 1 gilt, sind wir mit dem Beweis fertig, denn:

Die Behauptung gilt ja dann für den Wert aus der Induktionsverankerung n (zum Beispiel n = 1), und dann muss sie nach dem Beweis auch für n + 1 gelten, also für 2. Nehmen wir jetzt 2 als n, dann muss sie auch für n + 1, also für 3 gelten ... und so weiter bis in alle Ewigkeit :-)

Um zu zeigen, dass aus der Annahme "Die Behauptung gilt für n" folgt, dass die Behauptung auch für n + 1 gilt, formen wir alles, was wir haben so um, dass die ursprüngliche Behauptung wieder in unserem Term auftaucht - das ist der blaue Part im obigen Beweis.

Und wenn man dann auch noch zeigen kann, dass die Behauptung auch für den Rest - oben in rot - gilt, dann gibt es Grund zum "Induktions-Jubel" :-D

 

Probiere es mit ein paar weiteren Aufgaben, und Du wirst sehen, dass Du das durchaus bewältigen kannst.

Wetten, dass ?

Answer 2

Eine einfachere (und kürzere) Möglichkeit als vollständige Induktion wäre folgende:

\(4n^3-n=n(4n^2-1)=n(2n+1)(2n-1)\)

Jetzt ist ja von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen immer eine durch drei teilbar. D.h. von den Zahlen 2n-1, 2n, 2n+1 ist eine durch drei teilbar. Wenn aber 2n durch drei teilbar ist, dann muss auch n durch drei teilbar sein.

Also ist auf jeden Fall eine der Zahlen n, 2n+1, 2n-1 durch 3 teilbar und deswegen auch das Produkt dieser Zahlen.